Номер 53, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 53, страница 171.

Условие.

18.53. Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной 6 см. Плоскость одной боковой грани перпендикулярна плоскости основания, а плоскости двух других граней образуют с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите высоту пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Решение:

Пусть дана пирамида $SABC$, в основании которой лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $a=6$ см. Пусть боковая грань $SAB$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$.

Так как плоскость грани $(SAB)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$, то высота пирамиды $SH$, опущенная из вершины $S$, будет лежать в плоскости $(SAB)$ и ее основание $H$ будет лежать на линии пересечения этих плоскостей, то есть на стороне $AB$.

Две другие боковые грани, $(SAC)$ и $(SBC)$, образуют с плоскостью основания угол $45°$. Угол между боковой гранью и основанием — это линейный угол двугранного угла, который измеряется как угол между высотой боковой грани (апофемой) и ее проекцией на плоскость основания.

Проведем из точки $H$ перпендикуляры $HM$ к стороне $BC$ и $HK$ к стороне $AC$. Соединим точки $M$ и $K$ с вершиной $S$. По теореме о трех перпендикулярах, $SM \perp BC$ и $SK \perp AC$. Таким образом, $SM$ и $SK$ — это высоты (апофемы) граней $SBC$ и $SAC$ соответственно.

Углы $\angle SMH$ и $\angle SKH$ являются линейными углами двугранных углов между соответствующими боковыми гранями и основанием. По условию, $\angle SMH = \angle SKH = 45°$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SHM$ и $\triangle SHK$ (они прямоугольные, так как $SH$ — высота пирамиды). В этих треугольниках:

• $\triangle SHM$: $\angle SHM = 90°$, $\angle SMH = 45°$. Следовательно, $\triangle SHM$ — равнобедренный, и $SH = HM$.
• $\triangle SHK$: $\angle SHK = 90°$, $\angle SKH = 45°$. Следовательно, $\triangle SHK$ — равнобедренный, и $SH = HK$.

Из этого следует, что $HM = HK$. Это означает, что точка $H$ на стороне $AB$ равноудалена от сторон $AC$ и $BC$. Точка, равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Следовательно, точка $H$ лежит на биссектрисе угла $\angle ACB$. В равностороннем треугольнике $ABC$ биссектриса, проведенная из вершины $C$, является также медианой и высотой. Так как $H$ лежит на $AB$ и на медиане к $AB$, то $H$ — середина стороны $AB$.

Теперь найдем длину отрезка $HM$. Поскольку $H$ — середина $AB$, то $HB = \frac{1}{2}AB = \frac{6}{2} = 3$ см. В треугольнике $ABC$ все углы равны $60°$, поэтому $\angle ABC = 60°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle HMB$ (прямой угол при $M$, так как $HM \perp BC$). В этом треугольнике катет $HM$ находится по формуле:

$HM = HB \cdot \sin(\angle HBM) = 3 \cdot \sin(60°)$

Поскольку $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$HM = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см.

Высота пирамиды $SH$ равна длине отрезка $HM$.

$SH = HM = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ см.