Номер 50, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 50, страница 170.

Условие.

18.50. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 15 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны, а высота пирамиды равна $3\sqrt{15}$ см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами $a = 8$ см и $b = 15$ см. Высота пирамиды $H = 3\sqrt{15}$ см.

Нахождение параметров основания

Найдем гипотенузу $c$ основания по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ см.

Периметр основания $P$ равен сумме длин его сторон:
$P = a + b + c = 8 + 15 + 17 = 40$ см.

Площадь основания $S_{осн}$:
$S_{осн} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60$ см².

Нахождение радиуса вписанной окружности

Так как по условию двугранные углы при ребрах основания равны, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Найдем радиус $r$ этой окружности по формуле для прямоугольного треугольника:
$r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{8 + 15 - 17}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Нахождение апофемы пирамиды

Апофема $h_s$ (высота боковой грани), высота пирамиды $H$ и радиус вписанной окружности $r$ образуют прямоугольный треугольник, где апофема является гипотенузой. По теореме Пифагора:
$h_s^2 = H^2 + r^2$
$h_s = \sqrt{(3\sqrt{15})^2 + 3^2} = \sqrt{9 \cdot 15 + 9} = \sqrt{135 + 9} = \sqrt{144} = 12$ см.

Нахождение площади боковой поверхности

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ пирамиды, у которой все апофемы равны, вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_s$.
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 12 = 20 \cdot 12 = 240$ см².

Ответ: 240 см².