Номер 42, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 42, страница 170.

Условие.

18.42. Плоскости боковых граней $MAB$ и $MAC$ пирамиды $MABC$ перпендикулярны плоскости основания. Найдите площадь грани $MBC$, если $AB = 13$ см, $BC = 14$ см, $AC = 15$ см, $MA = 9$ см.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку плоскости боковых граней $MAB$ и $MAC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$, то их линия пересечения, ребро $MA$, также перпендикулярна плоскости основания $ABC$. Это означает, что $MA$ является высотой пирамиды, а треугольники $\triangle MAB$ и $\triangle MAC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $A$.

Для нахождения площади грани $MBC$ воспользуемся формулой: $S_{MBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MH$, где $MH$ — высота треугольника $MBC$, проведенная из вершины $M$ к стороне $BC$.

1. Найдем высоту $AH$ в треугольнике основания $ABC$.
В основании лежит треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 13$ см, $BC = 14$ см, $AC = 15$ см. Найдем его площадь по формуле Герона. Полупериметр $p$ треугольника $ABC$ равен: $p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см. Площадь треугольника $ABC$: $S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см².

С другой стороны, площадь треугольника $ABC$ можно выразить через высоту $AH$, проведенную к стороне $BC$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$. Отсюда найдем $AH$: $84 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot AH$ $84 = 7 \cdot AH$ $AH = \frac{84}{7} = 12$ см.

2. Найдем высоту (апофему) $MH$ грани $MBC$.
Рассмотрим треугольник $MAH$. Так как $MA \perp (ABC)$, то $MA$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, следовательно, $MA \perp AH$. Таким образом, треугольник $MAH$ — прямоугольный. По теореме Пифагора: $MH^2 = MA^2 + AH^2$ $MH^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$ $MH = \sqrt{225} = 15$ см.

3. Найдем площадь грани $MBC$.
Теперь мы можем вычислить площадь треугольника $MBC$, зная его основание $BC=14$ см и высоту $MH=15$ см. $S_{MBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 15 = 7 \cdot 15 = 105$ см².

Ответ: 105 см².