Номер 32, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 32, страница 169.

Условие.

18.32. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см, а каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите высоту пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — прямоугольник со сторонами $AB=6$ см и $BC=8$ см. $SO$ — высота пирамиды, где $O$ — точка на плоскости основания $ABCD$.

Угол между наклонной (боковым ребром) и плоскостью (основанием) — это угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. Проекцией бокового ребра $SA$ на плоскость основания является отрезок $OA$. Следовательно, угол между ребром $SA$ и плоскостью основания — это угол $\angle SAO$.

По условию, каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Это значит, что $\angle SAO = \angle SBO = \angle SCO = \angle SDO = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOA, \triangle SOB, \triangle SOC, \triangle SOD$. Они все имеют общий катет $SO$ (высота пирамиды) и равные острые углы при основании, равные $60^\circ$. Следовательно, эти треугольники равны по катету и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $OA = OB = OC = OD$.

Так как точка $O$ равноудалена от всех вершин прямоугольника $A, B, C, D$, она является центром описанной около него окружности, то есть точкой пересечения его диагоналей.

Найдем длину диагонали прямоугольника $AC$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$AC = \sqrt{100} = 10$ см.

Поскольку $O$ — точка пересечения диагоналей, она делит их пополам. Длина проекции бокового ребра $OA$ равна половине диагонали:

$OA = \frac{1}{2} AC = \frac{10}{2} = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$. Катет $SO$ является высотой пирамиды $H$, катет $OA = 5$ см, а угол $\angle SAO = 60^\circ$. Выразим высоту $H$ через тангенс угла:

$\tan(\angle SAO) = \frac{SO}{OA}$

$H = SO = OA \cdot \tan(60^\circ)$

Подставляя известные значения, получаем:

$H = 5 \cdot \sqrt{3}$ см.

Ответ: $5\sqrt{3}$ см.