Номер 6, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 6, страница 166.

Условие.

18.6. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 12 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите высоту пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$, где $ABC$ — равносторонний треугольник в основании, а $S$ — вершина пирамиды. Сторона основания $a = AB = BC = AC = 12$ см.

Высота пирамиды $SO$ опускается в центр основания $O$, который является центром описанной и вписанной окружностей для равностороннего треугольника $ABC$.

Угол между боковым ребром (например, $SA$) и плоскостью основания — это угол между самим ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекцией ребра $SA$ на плоскость основания $ABC$ является отрезок $OA$. Таким образом, по условию задачи, угол $∠SAO = 60°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$ (где $∠SOA = 90°$, так как $SO$ — высота). В этом треугольнике катет $SO$ — это искомая высота пирамиды $H$, а катет $OA$ — это радиус $R$ окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Найдем радиус $R$ описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a$. Формула для радиуса: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Подставим значение стороны $a = 12$ см:

$OA = R = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $SOA$. Мы знаем катет $OA$ и противолежащий ему угол $∠SAO$. Мы можем найти высоту $H = SO$ через тангенс этого угла:

$tan(∠SAO) = \frac{SO}{OA}$

Отсюда выразим высоту $SO$:

$H = SO = OA \cdot tan(∠SAO)$

Подставим известные значения $OA = 4\sqrt{3}$ см и $∠SAO = 60°$:

$H = 4\sqrt{3} \cdot tan(60°)$

Так как $tan(60°) = \sqrt{3}$, получаем:

$H = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Ответ: 12 см.