Номер 7, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 7, страница 166.

Условие.

7. Чему равна площадь боковой поверхности правильной пирамиды?

Решение 1.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется на основе периметра ее основания и высоты боковой грани (апофемы).

Правильная пирамида — это пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник (все стороны и углы равны), а вершина пирамиды проецируется в центр этого многоугольника. Следствием этого является то, что все боковые грани правильной пирамиды являются равными (конгруэнтными) равнобедренными треугольниками.

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) — это сумма площадей всех ее боковых граней. Так как все боковые грани одинаковы, можно найти площадь одной грани и умножить ее на их количество.

Высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемой и обозначается, как правило, буквой $l$.

Площадь одной боковой грани (треугольника) равна половине произведения ее основания (которое является стороной основания пирамиды, $a$) на высоту (апофему, $l$): $S_{грани} = \frac{1}{2} a \cdot l$.

Если в основании лежит $n$-угольник, то у пирамиды $n$ боковых граней. Тогда площадь боковой поверхности равна:

$S_{бок} = n \cdot S_{грани} = n \cdot (\frac{1}{2} a \cdot l) = \frac{1}{2} \cdot (n \cdot a) \cdot l$

Произведение числа сторон $n$ на длину стороны $a$ ($n \cdot a$) является периметром основания пирамиды ($P_{осн}$).

Таким образом, формула для площади боковой поверхности правильной пирамиды принимает вид:

$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l$

где $P_{осн}$ — периметр основания, а $l$ — апофема пирамиды.

Ответ: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра ее основания на апофему. Формула: $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l$.