Номер 3, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 3, страница 166.

Условие.

18.3. Докажите, что количество рёбер любой пирамиды является чётным числом.

Решение 1.

Решение 3.

Рассмотрим произвольную пирамиду. В основании любой пирамиды лежит некоторый многоугольник. Обозначим количество сторон этого многоугольника через $n$. По определению многоугольника, $n$ является целым числом, и $n \ge 3$.

Все рёбра пирамиды можно разделить на две группы: рёбра, лежащие в основании (рёбра основания), и рёбра, соединяющие вершины основания с вершиной пирамиды (боковые рёбра).

1. Количество рёбер основания равно количеству сторон многоугольника, лежащего в основании. Таким образом, количество рёбер основания равно $n$.

2. Количество боковых рёбер равно количеству вершин многоугольника в основании. Поскольку у n-угольника $n$ вершин, то и боковых рёбер у пирамиды также $n$.

Общее количество рёбер пирамиды равно сумме количества рёбер основания и количества боковых рёбер.

Общее количество рёбер = $n$ (рёбра основания) + $n$ (боковые рёбра) = $2n$.

Поскольку $n$ — это целое число, то произведение $2n$ всегда будет делиться на 2 без остатка, что по определению означает, что $2n$ — чётное число.

Таким образом, мы доказали, что количество рёбер любой пирамиды является чётным числом.

Ответ: Общее количество рёбер пирамиды, в основании которой лежит n-угольник, вычисляется по формуле $n + n = 2n$. Так как $n$ — целое число, то $2n$ всегда является чётным числом.