Номер 4, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 4, страница 166.

Условие.

18.4. На рисунке 18.7 изображена правильная треугольная пирамида $SABC$.

Перерисуйте рисунок в тетрадь и изобразите:

1) высоту пирамиды;

2) угол наклона ребра $SA$ к плоскости основания;

3) линейный угол двугранного угла пирамиды при ребре $BC$.

Рис. 18.7

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку пирамида $SABC$ является правильной, ее основание $ABC$ — равносторонний треугольник, а вершина $S$ проецируется в центр этого треугольника. Обозначим центр основания как точку $O$.

1) высоту пирамиды;

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания. Так как по свойству правильной пирамиды вершина $S$ проецируется в центр основания $O$, то отрезком, изображающим высоту, является отрезок $SO$. Для его построения необходимо найти центр $O$ треугольника $ABC$. В равностороннем треугольнике центр является точкой пересечения медиан (а также высот и биссектрис). Проведем, например, медиану $AM$ (где $M$ — середина $BC$) и медиану $BN$ (где $N$ — середина $AC$). Точка их пересечения $O$ и будет центром основания. Соединив точки $S$ и $O$, получим высоту $SO$.

Ответ: Высотой пирамиды является отрезок $SO$, где $O$ — центр треугольника $ABC$.

2) угол наклона ребра SA к плоскости основания;

Углом наклона прямой к плоскости называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. В данном случае прямой является ребро $SA$, а плоскостью — основание $(ABC)$.

Проекцией точки $S$ на плоскость $(ABC)$ является точка $O$ (основание высоты). Точка $A$ принадлежит плоскости основания, поэтому ее проекция совпадает с ней самой. Следовательно, отрезок $AO$ является проекцией ребра $SA$ на плоскость основания. Угол между ребром $SA$ и его проекцией $AO$ — это угол $SAO$.

Ответ: Углом наклона ребра $SA$ к плоскости основания является угол $SAO$.

3) линейный угол двугранного угла пирамиды при ребре BC.

Линейный угол двугранного угла — это угол между двумя перпендикулярами, проведенными из одной точки на ребре в плоскостях граней. Двугранный угол при ребре $BC$ образован гранями $(SBC)$ и $(ABC)$.

Проведем в плоскости боковой грани $(SBC)$ высоту $SM$ к ребру $BC$ (где $M$ — середина $BC$). Так как боковая грань правильной пирамиды — равнобедренный треугольник ($SB=SC$), то медиана $SM$ является и высотой, то есть $SM \perp BC$.

Проведем в плоскости основания $(ABC)$ медиану $AM$. Так как основание — равносторонний треугольник, медиана $AM$ является и высотой, то есть $AM \perp BC$.

Оба перпендикуляра, $SM$ и $AM$, проведены к ребру $BC$ в одной и той же точке $M$. Следовательно, угол между ними, $\angle SMA$, и является линейным углом двугранного угла при ребре $BC$.

Ответ: Линейным углом двугранного угла пирамиды при ребре $BC$ является угол $SMA$, где $M$ — середина ребра $BC$.