Номер 5, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 5, страница 166.

Условие.

18.5. На рисунке 18.8 изображена правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$. Перерисуйте рисунок в тетрадь и изобразите:

1) высоту пирамиды;

2) угол наклона ребра $SC$ к плоскости основания;

3) линейный угол двугранного угла пирамиды при ребре $AD$.

Рис. 18.7

Рис. 18.8

Решение 1.

Решение 3.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD основанием является квадрат ABCD, а вершина S проецируется в центр этого квадрата. Перерисуем рисунок 18.8 и выполним на нем построения.

1) высоту пирамиды;

Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.В правильной пирамиде SABCD вершина S проецируется в центр основания. Центром квадрата ABCD является точка пересечения его диагоналей. Проведем диагонали AC и BD. Пусть они пересекаются в точке O.Тогда отрезок SO перпендикулярен плоскости основания (ABC). Следовательно, SO — высота пирамиды.

Ответ: Высотой пирамиды является отрезок SO, где O — точка пересечения диагоналей основания AC и BD.

2) угол наклона ребра SC к плоскости основания;

Угол наклона прямой (ребра SC) к плоскости (основания ABCD) — это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость.Высота SO перпендикулярна плоскости основания, значит, точка O является проекцией точки S на плоскость (ABC). Точка C лежит в плоскости основания, поэтому ее проекция совпадает с самой собой.Следовательно, отрезок OC является проекцией наклонной (ребра) SC на плоскость основания (ABC).Искомый угол — это угол между ребром SC и его проекцией OC, то есть угол $SCO$.

Ответ: Углом наклона ребра SC к плоскости основания является угол $SCO$.

3) линейный угол двугранного угла пирамиды при ребре AD.

Двугранный угол при ребре AD образован двумя полуплоскостями: плоскостью боковой грани (SAD) и плоскостью основания (ABC).Линейный угол двугранного угла — это угол между двумя лучами, проведенными в его гранях перпендикулярно ребру из одной точки на ребре.Построим линейный угол.1. В плоскости основания (ABC) проведем перпендикуляр к ребру AD. Пусть M — середина ребра AD. Проведем отрезок OM. Так как ABCD — квадрат, а O — его центр, то OM — это средняя линия треугольника ABD, параллельная AB. Поскольку $AB \perp AD$, то и $OM \perp AD$.2. В плоскости боковой грани (SAD) проведем перпендикуляр к ребру AD из точки M. Треугольник SAD — равнобедренный ($SA = SD$ как боковые ребра правильной пирамиды). Поэтому медиана SM, проведенная к основанию AD, является также и высотой. Значит, $SM \perp AD$.3. Мы построили два перпендикуляра к общему ребру AD в точке M: OM в плоскости основания и SM в плоскости боковой грани. Угол между этими отрезками, $\angle SMO$, и является линейным углом двугранного угла при ребре AD.

Ответ: Линейным углом двугранного угла при ребре AD является угол $\angle SMO$, где O — центр основания, а M — середина ребра AD.