Номер 7, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Усечённая пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 7, страница 174.

Условие.

19.7. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 24 см и 30 см, а боковые ребра – 4 см. Найдите высоту пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $a_1 = 30$ см и $a_2 = 24$ см — стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды, а $l = 4$ см — длина её бокового ребра. Необходимо найти высоту пирамиды $h$.

Высоту пирамиды можно найти из прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является боковое ребро $l$, а катетами — высота пирамиды $h$ и проекция бокового ребра на плоскость большего основания. Длина этой проекции для правильной усеченной пирамиды равна разности радиусов $R_1$ и $R_2$ окружностей, описанных около оснований.

Сначала найдем радиусы этих окружностей. Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, находится по формуле $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Для большего основания со стороной $a_1 = 30$ см, радиус равен: $R_1 = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}$ см.

Для меньшего основания со стороной $a_2 = 24$ см, радиус равен: $R_2 = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем длину проекции бокового ребра на плоскость основания как разность радиусов: $R_1 - R_2 = 10\sqrt{3} - 8\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $l^2 = h^2 + (R_1 - R_2)^2$. Подставим известные значения и решим уравнение относительно $h$: $4^2 = h^2 + (2\sqrt{3})^2$ $16 = h^2 + 4 \cdot 3$ $16 = h^2 + 12$ $h^2 = 16 - 12$ $h^2 = 4$ $h = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.