Номер 5, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Усечённая пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 5, страница 174.

Условие.

19.5. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 6 см и 10 см, а высота пирамиды – 4 см. Найдите:

1) диагональ усечённой пирамиды;

2) площадь сечения, проходящего через боковые рёбра, не принадлежащие одной грани;

3) площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

1) диагональ усечённой пирамиды

Пусть $a_1$ — сторона нижнего основания, $a_2$ — сторона верхнего основания, $h$ — высота усечённой пирамиды. По условию, $a_1 = 10$ см, $a_2 = 6$ см, $h = 4$ см.

Диагональ усечённой пирамиды можно найти, рассмотрев её диагональное сечение. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию, основаниями которой являются диагонали оснований пирамиды ($d_1$ и $d_2$), а высотой — высота самой пирамиды $h$.

Сначала найдём длины диагоналей оснований. Так как основания — квадраты, их диагонали равны:

• Диагональ нижнего основания: $d_1 = a_1\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$ см.
• Диагональ верхнего основания: $d_2 = a_2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является диагональ усечённой пирамиды $D$. Одним катетом этого треугольника является высота пирамиды $h=4$ см. Другой катет — это проекция диагонали на плоскость нижнего основания. Длина этой проекции равна сумме полудиагонали нижнего основания и проекции полудиагонали верхнего основания. Проекция полудиагонали верхнего основания равна самой полудиагонали, так как пирамида правильная. Таким образом, длина второго катета равна:

$\frac{d_1}{2} + \frac{d_2}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} + \frac{6\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.

По теореме Пифагора найдём диагональ $D$:

$D^2 = h^2 + (8\sqrt{2})^2 = 4^2 + 64 \cdot 2 = 16 + 128 = 144$

$D = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

2) площадь сечения, проходящего через боковые рёбра, не принадлежащие одной грани

Такое сечение является диагональным сечением, которое мы рассматривали в предыдущем пункте. Это равнобокая трапеция, основаниями которой являются диагонали оснований пирамиды $d_1 = 10\sqrt{2}$ см и $d_2 = 6\sqrt{2}$ см, а высота равна высоте пирамиды $h = 4$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S_{сеч} = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot h$

Подставим известные значения:

$S_{сеч} = \frac{10\sqrt{2} + 6\sqrt{2}}{2} \cdot 4 = \frac{16\sqrt{2}}{2} \cdot 4 = 8\sqrt{2} \cdot 4 = 32\sqrt{2}$ см².

Ответ: $32\sqrt{2}$ см².

3) площадь боковой поверхности усечённой пирамиды

Боковая поверхность правильной усечённой четырёхугольной пирамиды состоит из четырёх одинаковых равнобоких трапеций. Площадь боковой поверхности можно найти по формуле:

$S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot l$

где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $l$ — апофема (высота боковой грани).

1. Найдём периметры оснований:

• Периметр нижнего основания: $P_1 = 4 \cdot a_1 = 4 \cdot 10 = 40$ см.
• Периметр верхнего основания: $P_2 = 4 \cdot a_2 = 4 \cdot 6 = 24$ см.

2. Найдём апофему $l$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, апофемой $l$ (в качестве гипотенузы) и отрезком на нижнем основании, равным полуразности полусторон оснований. Проще говоря, катетами являются высота $h$ и отрезок, равный $\frac{a_1 - a_2}{2}$.

Длина этого отрезка: $\frac{10 - 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$

$l = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ см.

3. Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{40 + 24}{2} \cdot 2\sqrt{5} = \frac{64}{2} \cdot 2\sqrt{5} = 32 \cdot 2\sqrt{5} = 64\sqrt{5}$ см².

Ответ: $64\sqrt{5}$ см².