Номер 3, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Усечённая пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 3, страница 173.

Условие.

19.3. Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны 12 см и 18 см, а двугранный угол пирамиды при ребре большего основания равен $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$,

где $P_1$ и $P_2$ – периметры оснований, а $h_a$ – апофема (высота боковой грани).

1. Нахождение периметров оснований

Основания пирамиды – правильные треугольники.
Сторона большего основания $a_1 = 18$ см. Его периметр:
$P_1 = 3a_1 = 3 \cdot 18 = 54$ см.
Сторона меньшего основания $a_2 = 12$ см. Его периметр:
$P_2 = 3a_2 = 3 \cdot 12 = 36$ см.

2. Нахождение апофемы усечённой пирамиды

Для нахождения апофемы $h_a$ рассмотрим прямоугольный треугольник. Его гипотенузой является апофема $h_a$, а катетами – высота усечённой пирамиды $H$ и разность радиусов вписанных в основания окружностей ($r_1 - r_2$). Двугранный угол при ребре большего основания – это угол между апофемой $h_a$ и плоскостью основания, который в данном треугольнике является углом между гипотенузой $h_a$ и катетом ($r_1 - r_2$). Этот угол равен $45^\circ$.

Сначала найдём радиусы вписанных окружностей. Формула радиуса для правильного треугольника со стороной $a$: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
Радиус для большего основания: $r_1 = \frac{18\sqrt{3}}{6} = 3\sqrt{3}$ см.
Радиус для меньшего основания: $r_2 = \frac{12\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3}$ см.

Разность радиусов:
$r_1 - r_2 = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$ см.

Теперь из соотношения в прямоугольном треугольнике найдём апофему:
$\cos(45^\circ) = \frac{r_1 - r_2}{h_a}$
$h_a = \frac{r_1 - r_2}{\cos(45^\circ)} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{6}$ см.

3. Вычисление площади боковой поверхности

Подставим найденные значения периметров и апофемы в формулу площади боковой поверхности:
$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a = \frac{1}{2}(54 + 36) \cdot \sqrt{6}$
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 90 \cdot \sqrt{6} = 45\sqrt{6}$ см$^2$.

Ответ: $45\sqrt{6}$ см$^2$.