Номер 6, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Усечённая пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 6, страница 174.

Условие.

19.6. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 15 см и 27 см, а боковое ребро образует с плоскостью большего основания угол $30^\circ$. Найдите:

1) высоту пирамиды;

2) площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная четырёхугольная усечённая пирамида. Сторона большего основания $a_1 = 27$ см, сторона меньшего основания $a_2 = 15$ см. Угол, который боковое ребро образует с плоскостью большего основания, равен $\alpha = 30^\circ$.

1) высоту пирамиды;

Высоту пирамиды $H$ можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, его проекцией на плоскость большего основания и высотой пирамиды.

Проекция бокового ребра на плоскость большего основания равна разности полудиагоналей оснований. Основания являются квадратами.

Диагональ большего основания: $d_1 = a_1\sqrt{2} = 27\sqrt{2}$ см.

Половина диагонали большего основания: $\frac{d_1}{2} = \frac{27\sqrt{2}}{2}$ см.

Диагональ меньшего основания: $d_2 = a_2\sqrt{2} = 15\sqrt{2}$ см.

Половина диагонали меньшего основания: $\frac{d_2}{2} = \frac{15\sqrt{2}}{2}$ см.

Длина проекции бокового ребра на плоскость большего основания (катет прямоугольного треугольника) равна:

$k = \frac{d_1}{2} - \frac{d_2}{2} = \frac{27\sqrt{2}}{2} - \frac{15\sqrt{2}}{2} = \frac{(27-15)\sqrt{2}}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Второй катет этого треугольника — это высота усечённой пирамиды $H$. Угол, противолежащий этому катету, равен $30^\circ$. Таким образом:

$H = k \cdot \tan(\alpha) = 6\sqrt{2} \cdot \tan(30^\circ) = 6\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6}$ см.

Ответ: $2\sqrt{6}$ см.

2) площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot h_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).

Периметр большего основания: $P_1 = 4a_1 = 4 \cdot 27 = 108$ см.

Периметр меньшего основания: $P_2 = 4a_2 = 4 \cdot 15 = 60$ см.

Для нахождения апофемы $h_a$ рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой $h_a$ и разностью полусторон оснований, спроецированной на плоскость основания.

Один катет этого треугольника равен высоте пирамиды $H = 2\sqrt{6}$ см.

Второй катет равен разности радиусов вписанных в основания окружностей (или полусторон квадратов):

$\frac{a_1}{2} - \frac{a_2}{2} = \frac{27}{2} - \frac{15}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Апофема $h_a$ является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора:

$h_a = \sqrt{H^2 + \left(\frac{a_1-a_2}{2}\right)^2} = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 + 6^2} = \sqrt{24 + 36} = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$ см.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{108 + 60}{2} \cdot 2\sqrt{15} = \frac{168}{2} \cdot 2\sqrt{15} = 84 \cdot 2\sqrt{15} = 168\sqrt{15}$ см².

Ответ: $168\sqrt{15}$ см².