Номер 11, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Усечённая пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 11, страница 174.

Условие.

19.11. Боковое ребро $BB_1$ усечённой пирамиды $ABCA_1B_1C_1$ перпендикулярно плоскости основания, $BB_1 = 4$ см, $AB = BC = 16$ см, $A_1B_1 = B_1C_1 = 10$ см, $\angle ABC = 120^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды $ABCA_1B_1C_1$ равна сумме площадей ее боковых граней. Боковыми гранями являются трапеции $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$ и $ACC_1A_1$.

1. Найдем площади граней $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$

По условию, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Это означает, что ребро $BB_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $B$. Следовательно, $BB_1 \perp AB$ и $BB_1 \perp BC$.

Поскольку плоскости оснований $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны, ребро $BB_1$ также перпендикулярно прямым $A_1B_1$ и $B_1C_1$.

Таким образом, грани $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ являются прямоугольными трапециями, где $BB_1$ — их высота.

Дано: $AB = BC = 16$ см, $A_1B_1 = B_1C_1 = 10$ см, $BB_1 = 4$ см.

Площадь трапеции $ABB_1A_1$ вычисляется по формуле:

$S_{ABB_1A_1} = \frac{AB + A_1B_1}{2} \cdot BB_1 = \frac{16 + 10}{2} \cdot 4 = \frac{26}{2} \cdot 4 = 13 \cdot 4 = 52$ см².

Аналогично, площадь трапеции $BCC_1B_1$:

$S_{BCC_1B_1} = \frac{BC + B_1C_1}{2} \cdot BB_1 = \frac{16 + 10}{2} \cdot 4 = \frac{26}{2} \cdot 4 = 13 \cdot 4 = 52$ см².

2. Найдем площадь грани $ACC_1A_1$

Грань $ACC_1A_1$ является трапецией с основаниями $AC$ и $A_1C_1$.

Найдем длины оснований $AC$ и $A_1C_1$ с помощью теоремы косинусов для треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно.

В треугольнике $\triangle ABC$ ($AB = BC = 16$, $\angle ABC = 120^\circ$):

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 16^2 + 16^2 - 2 \cdot 16 \cdot 16 \cdot \cos(120^\circ) = 256 + 256 - 512 \cdot (-\frac{1}{2}) = 512 + 256 = 768$

$AC = \sqrt{768} = \sqrt{256 \cdot 3} = 16\sqrt{3}$ см.

Треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ подобен треугольнику $\triangle ABC$, поэтому $\angle A_1B_1C_1 = \angle ABC = 120^\circ$.

В треугольнике $\triangle A_1B_1C_1$ ($A_1B_1 = B_1C_1 = 10$):

$A_1C_1^2 = A_1B_1^2 + B_1C_1^2 - 2 \cdot A_1B_1 \cdot B_1C_1 \cdot \cos(\angle A_1B_1C_1)$

$A_1C_1^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos(120^\circ) = 100 + 100 - 200 \cdot (-\frac{1}{2}) = 200 + 100 = 300$

$A_1C_1 = \sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем длины боковых сторон трапеции $AA_1$ и $CC_1$. Рассмотрим прямоугольную трапецию $ABB_1A_1$. Проведем высоту $A_1H$ из точки $A_1$ на основание $AB$. Получим прямоугольный треугольник $\triangle AHA_1$, где $A_1H = BB_1 = 4$ см, а $AH = AB - B_1H = AB - A_1B_1 = 16 - 10 = 6$ см. По теореме Пифагора:

$AA_1^2 = AH^2 + A_1H^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$

$AA_1 = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ см.

Аналогично для трапеции $BCC_1B_1$ находим $CC_1 = 2\sqrt{13}$ см. Так как $AA_1 = CC_1$, трапеция $ACC_1A_1$ — равнобедренная.

Найдем высоту $h$ трапеции $ACC_1A_1$. Проведем высоты из вершин $A_1$ и $C_1$ на основание $AC$. Они отсекут на большем основании отрезок, равный $\frac{AC - A_1C_1}{2}$.

$\frac{16\sqrt{3} - 10\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Высота $h$ является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — боковая сторона $AA_1$, а другой катет — найденный отрезок. По теореме Пифагора:

$h^2 = AA_1^2 - (3\sqrt{3})^2 = (2\sqrt{13})^2 - 27 = 52 - 27 = 25$

$h = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь можем найти площадь трапеции $ACC_1A_1$:

$S_{ACC_1A_1} = \frac{AC + A_1C_1}{2} \cdot h = \frac{16\sqrt{3} + 10\sqrt{3}}{2} \cdot 5 = \frac{26\sqrt{3}}{2} \cdot 5 = 13\sqrt{3} \cdot 5 = 65\sqrt{3}$ см².

3. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей боковых граней:

$S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{BCC_1B_1} + S_{ACC_1A_1} = 52 + 52 + 65\sqrt{3} = 104 + 65\sqrt{3}$ см².

Ответ: $104 + 65\sqrt{3}$ см².