Номер 2, страница 185 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 2, страница 185.

Условие.

20.2. Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Точка $M$ не лежит в плоскости $ABC$. Можно ли провести плоскость через:

1) прямую $AM$ и точки $O$ и $C$;

2) прямую $AC$ и точки $B$ и $M$?

Решение 1.

Решение 3.

1) прямую AM и точки O и C;
По условию, $ABCD$ — прямоугольник, а $O$ — точка пересечения его диагоналей. Это означает, что точка $O$ лежит на диагонали $AC$. Таким образом, точки $A$, $O$ и $C$ лежат на одной прямой — прямой $AC$.
Задача сводится к тому, можно ли провести плоскость через прямую $AM$ и прямую $AC$. Прямые $AM$ и $AC$ имеют общую точку $A$, то есть они являются пересекающимися.
Согласно аксиоме стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Эта плоскость будет содержать и прямую $AM$, и прямую $AC$, а значит и все точки, лежащие на этих прямых, включая точки $O$ и $C$.
Следовательно, провести такую плоскость можно. Это будет плоскость, однозначно заданная тремя точками $A$, $M$ и $C$, которые не лежат на одной прямой (поскольку точка $M$ не лежит в плоскости $ABC$).
Ответ: можно.

2) прямую AC и точки B и M?
Для того чтобы через заданные элементы можно было провести плоскость, они все должны быть компланарны, то есть лежать в одной плоскости.
Рассмотрим прямую $AC$ и точку $B$. Поскольку $A, B, C$ — вершины прямоугольника, точка $B$ не лежит на прямой $AC$. Согласно аксиоме, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. В данном случае это плоскость прямоугольника $ABC$.
Таким образом, любая плоскость, проходящая через прямую $AC$ и точку $B$, должна совпадать с плоскостью $ABC$.
Однако по условию задачи точка $M$ не лежит в плоскости $ABC$. Это означает, что точка $M$ не может принадлежать плоскости, которую мы определили. Так как точка $M$ не лежит в этой единственной плоскости, содержащей $AC$ и $B$, то невозможно провести одну общую плоскость через прямую $AC$ и точки $B$ и $M$.
Ответ: нельзя.