Страница 185 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.1. Среди точек $A$, $B$, $C$ и $D$ есть три точки, лежащие на одной прямой.

Сколько плоскостей можно провести через данные точки?

Для решения этой задачи воспользуемся аксиомой стереометрии: через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость. Также плоскость можно однозначно определить тремя точками, не лежащими на одной прямой.

По условию, среди четырех точек $A$, $B$, $C$ и $D$ три лежат на одной прямой. Обозначим эту прямую как $l$. Пусть, для определенности, на прямой $l$ лежат точки $A, B, C$. Для определения количества плоскостей необходимо рассмотреть два возможных случая, зависящих от положения четвертой точки $D$.

Случай 1: Точка $D$ лежит на прямой $l$.

В этом случае все четыре точки ($A, B, C$ и $D$) оказываются на одной прямой $l$. Через одну прямую можно провести бесконечное множество различных плоскостей. Каждая из этих плоскостей будет содержать все четыре точки. Это можно представить как страницы книги, вращающиеся вокруг корешка (прямой $l$).

Ответ: бесконечно много плоскостей.

Случай 2: Точка $D$ не лежит на прямой $l$.

В этом случае у нас есть прямая $l$, на которой лежат точки $A, B, C$, и точка $D$, которая не лежит на этой прямой. Согласно приведенной выше аксиоме, через прямую $l$ и точку $D$ можно провести плоскость, и притом только одну. Эта плоскость будет содержать все четыре точки.

Ответ: одна плоскость.

Поскольку условие задачи не уточняет, принадлежит ли четвертая точка прямой, на которой лежат три другие, задача имеет два возможных решения.

20.2. Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Точка $M$ не лежит в плоскости $ABC$. Можно ли провести плоскость через:

1) прямую $AM$ и точки $O$ и $C$;

2) прямую $AC$ и точки $B$ и $M$?

1) прямую AM и точки O и C;
По условию, $ABCD$ — прямоугольник, а $O$ — точка пересечения его диагоналей. Это означает, что точка $O$ лежит на диагонали $AC$. Таким образом, точки $A$, $O$ и $C$ лежат на одной прямой — прямой $AC$.
Задача сводится к тому, можно ли провести плоскость через прямую $AM$ и прямую $AC$. Прямые $AM$ и $AC$ имеют общую точку $A$, то есть они являются пересекающимися.
Согласно аксиоме стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Эта плоскость будет содержать и прямую $AM$, и прямую $AC$, а значит и все точки, лежащие на этих прямых, включая точки $O$ и $C$.
Следовательно, провести такую плоскость можно. Это будет плоскость, однозначно заданная тремя точками $A$, $M$ и $C$, которые не лежат на одной прямой (поскольку точка $M$ не лежит в плоскости $ABC$).
Ответ: можно.

2) прямую AC и точки B и M?
Для того чтобы через заданные элементы можно было провести плоскость, они все должны быть компланарны, то есть лежать в одной плоскости.
Рассмотрим прямую $AC$ и точку $B$. Поскольку $A, B, C$ — вершины прямоугольника, точка $B$ не лежит на прямой $AC$. Согласно аксиоме, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. В данном случае это плоскость прямоугольника $ABC$.
Таким образом, любая плоскость, проходящая через прямую $AC$ и точку $B$, должна совпадать с плоскостью $ABC$.
Однако по условию задачи точка $M$ не лежит в плоскости $ABC$. Это означает, что точка $M$ не может принадлежать плоскости, которую мы определили. Так как точка $M$ не лежит в этой единственной плоскости, содержащей $AC$ и $B$, то невозможно провести одну общую плоскость через прямую $AC$ и точки $B$ и $M$.
Ответ: нельзя.

20.3. Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 20.1). Точка $D$ принадлежит прямой $AB$, точка $E$ – прямой $AC$. Постройте сечение призмы плоскостью $A_1DE$.

Рис. 20.1

Для построения сечения призмы плоскостью $A_1DE$ воспользуемся методом следов. Этот метод заключается в последовательном нахождении линий пересечения (следов) секущей плоскости с плоскостями граней призмы.

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости нижнего основания

Секущая плоскость определена тремя точками: $A_1$, $D$ и $E$. Точки $D$ и $E$ по условию лежат на прямых $AB$ и $AC$ соответственно. Прямые $AB$ и $AC$ лежат в плоскости нижнего основания $ABC$. Следовательно, прямая, проходящая через точки $D$ и $E$, также лежит в плоскости основания $ABC$. Эта прямая $DE$ является линией пересечения (следом) секущей плоскости $A_1DE$ с плоскостью основания призмы. Проведем прямую $DE$.

Ответ: Прямая $DE$ является следом секущей плоскости на плоскости $ABC$.

2. Нахождение точек пересечения секущей плоскости с боковыми ребрами призмы

Теперь найдем точки, в которых секущая плоскость пересекает ребра призмы. Для этого найдем линии пересечения секущей плоскости с боковыми гранями.

а) Рассмотрим боковую грань $AA_1B_1B$. Точка $A_1$ принадлежит этой грани. Точка $D$ также принадлежит плоскости этой грани, так как лежит на прямой $AB$. Следовательно, прямая $A_1D$ является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью грани $AA_1B_1B$. Проведем эту прямую. Прямая $A_1D$ пересекает боковое ребро $BB_1$ в некоторой точке. Обозначим эту точку как $M$. Точка $M$ является вершиной искомого сечения, а отрезок $A_1M$ — его стороной.

б) Аналогично рассмотрим боковую грань $AA_1C_1C$. Точка $A_1$ принадлежит этой грани. Точка $E$ также принадлежит плоскости этой грани, так как лежит на прямой $AC$. Следовательно, прямая $A_1E$ является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью грани $AA_1C_1C$. Проведем эту прямую. Прямая $A_1E$ пересекает боковое ребро $CC_1$ в некоторой точке. Обозначим эту точку как $N$. Точка $N$ является еще одной вершиной искомого сечения, а отрезок $A_1N$ — его стороной.

Ответ: Найдены точки $M$ на ребре $BB_1$ и $N$ на ребре $CC_1$, являющиеся вершинами сечения.

3. Завершение построения сечения

Мы получили три вершины искомого сечения: $A_1$, $M$ и $N$. Точки $M$ и $N$ лежат на ребрах $BB_1$ и $CC_1$ соответственно, а значит, обе принадлежат плоскости боковой грани $BB_1C_1C$. Следовательно, мы можем соединить их отрезком. Отрезок $MN$ будет лежать на грани $BB_1C_1C$ и являться третьей стороной сечения.

В результате мы получили замкнутый многоугольник — треугольник $A_1MN$. Его вершины ($A_1, M, N$) лежат на ребрах призмы, а его стороны ($A_1M$, $MN$, $NA_1$) лежат на гранях призмы ($AA_1B_1B$, $BB_1C_1C$, $AA_1C_1C$ соответственно). Таким образом, треугольник $A_1MN$ является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $A_1DE$ — это треугольник $A_1MN$.

20.4. Точка $M$ принадлежит грани $BB_1C_1C$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точка $K$ – ребру $AD$ (рис. 20.2). Постройте точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABB_1$.

Рис. 20.2

Для построения точки пересечения прямой $MK$ с плоскостью грани $ABB_1A_1$ (далее — плоскость $(ABB_1)$) воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей.

Построение:

1. Спроецируем точку $M$ на плоскость нижнего основания куба $(ABC)$. Для этого из точки $M$, лежащей на грани $BB_1C_1C$, проведем прямую, параллельную ребру $BB_1$. Точку пересечения этой прямой с ребром $BC$ обозначим $M'$. Таким образом, $MM' \parallel BB_1$.

2. Рассмотрим вспомогательную плоскость $\sigma$, проходящую через прямую $MK$. Такая плоскость однозначно определяется тремя точками $M$, $K$ и $M'$.

3. Найдем прямую $l$, являющуюся линией пересечения вспомогательной плоскости $\sigma = (MKM')$ и заданной плоскости $(ABB_1)$.

4. Прямые $KM'$ и $AB$ лежат в одной плоскости $(ABC)$. Найдем их точку пересечения, продлив отрезки $KM'$ и $AB$. Обозначим эту точку как $X$. Так как точка $X$ лежит на прямой $AB$, она принадлежит плоскости $(ABB_1)$. Так как точка $X$ лежит на прямой $KM'$, она принадлежит плоскости $\sigma$. Следовательно, точка $X$ лежит на линии пересечения $l$.

5. По построению, прямая $MM'$ параллельна ребру $BB_1$, которое лежит в плоскости $(ABB_1)$. Это означает, что прямая $MM'$ параллельна плоскости $(ABB_1)$.

6. Согласно свойству, если плоскость ($\sigma$) проходит через прямую ($MM'$), параллельную другой плоскости ($(ABB_1)$), то линия их пересечения ($l$) параллельна этой прямой. Значит, $l \parallel MM'$, и, следовательно, $l \parallel BB_1$.

7. Таким образом, прямая $l$ — это прямая, проходящая через точку $X$ параллельно ребру $BB_1$.

8. Искомая точка $P$ — это точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $(ABB_1)$. Поскольку прямая $l$ лежит в плоскости $(ABB_1)$, а прямая $MK$ вместе с $l$ лежит во вспомогательной плоскости $\sigma$, то искомая точка $P$ является точкой пересечения прямых $MK$ и $l$. Построим точку $P$, продлив прямую $MK$ до пересечения с прямой $l$.

Ответ: Искомая точка $P$ строится как точка пересечения прямой $MK$ и прямой $l$, где $l$ — прямая, проходящая через точку $X = KM' \cap AB$ параллельно ребру $BB_1$, а $M'$ — проекция точки $M$ на плоскость $(ABC)$.

20.5. Точка $M$ принадлежит грани $AA_1B_1B$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точка $K$ – грани $AA_1D_1D$ (рис. 20.3). Постройте точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $A_1B_1C_1$.

Рис. 20.1

Рис. 20.2

Рис. 20.3

Для построения точки пересечения прямой $MK$ с плоскостью $(A_1B_1C_1)$ используется метод вспомогательной плоскости. В качестве такой плоскости удобно выбрать плоскость, проходящую через три точки, которые определяют прямую $MK$ и легко связываются с геометрией куба. Возьмем плоскость $\alpha$, проходящую через точки $A$, $M$ и $K$.

Искомая точка пересечения $P$ по определению должна удовлетворять двум условиям:
1. $P$ принадлежит прямой $MK$.
2. $P$ принадлежит плоскости $(A_1B_1C_1)$.

Так как прямая $MK$ лежит во вспомогательной плоскости $\alpha = (AMK)$, то искомая точка $P$ также должна лежать в этой плоскости. Из этого следует, что точка $P$ должна лежать на линии пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(A_1B_1C_1)$. Таким образом, алгоритм построения сводится к нахождению этой линии пересечения, а затем — к нахождению точки пересечения полученной линии с исходной прямой $MK$.

Построение

1. Нахождение линии пересечения вспомогательной плоскости $(AMK)$ с плоскостью $(A_1B_1C_1)$.

   Прямая определяется двумя точками. Найдем две точки, принадлежащие обеим плоскостям.

   • По условию, точка $M$ принадлежит грани $AA_1B_1B$. Следовательно, прямая $AM$ лежит в плоскости $(AA_1B_1B)$. В этой же плоскости лежит и прямая $A_1B_1$. Построим точку $P_1$ как пересечение прямых $AM$ и $A_1B_1$. Так как точка $P_1$ лежит на прямой $AM$, она принадлежит плоскости $(AMK)$. Так как $P_1$ лежит на прямой $A_1B_1$, она принадлежит плоскости $(A_1B_1C_1)$. Значит, $P_1$ — одна из точек искомой линии пересечения.
   • Аналогично, точка $K$ принадлежит грани $AA_1D_1D$. Следовательно, прямая $AK$ лежит в плоскости $(AA_1D_1D)$. В этой же плоскости лежит прямая $A_1D_1$. Построим точку $P_2$ как пересечение прямых $AK$ и $A_1D_1$. Так как точка $P_2$ лежит на прямой $AK$, она принадлежит плоскости $(AMK)$. Так как $P_2$ лежит на прямой $A_1D_1$, она принадлежит плоскости $(A_1B_1C_1)$. Значит, $P_2$ — вторая точка искомой линии пересечения.

   Прямая, проходящая через точки $P_1$ и $P_2$, является линией пересечения плоскостей $(AMK)$ и $(A_1B_1C_1)$.

2. Нахождение искомой точки $P$.

   Искомая точка $P$ является пересечением прямой $MK$ с плоскостью $(A_1B_1C_1)$. Как было показано, $P$ должна лежать на линии пересечения плоскости $(AMK)$ с $(A_1B_1C_1)$, то есть на прямой $P_1P_2$.

   Таким образом, точка $P$ находится как пересечение двух прямых: $MK$ и $P_1P_2$. Обе эти прямые лежат в одной плоскости $(AMK)$, поэтому они пересекаются (за исключением случая параллельности, который означал бы, что прямая $MK$ параллельна плоскости $A_1B_1C_1$).

Ответ: Искомая точка $P$ является точкой пересечения прямой $MK$ и прямой $P_1P_2$, где $P_1 = AM \cap A_1B_1$ и $P_2 = AK \cap A_1D_1$.

20.6. На рёбрах $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены соответственно точки $M$, $N$ и $K$, причём $BM \neq CN$, $BM \neq DK$ и $CN \neq DK$.

Постройте линию пересечения плоскостей $ABC$ и $MNK$.

Для построения линии пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(MNK)$ необходимо найти две точки, принадлежащие обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой линией пересечения.

Найдем первую общую точку. Рассмотрим плоскость боковой грани $BCC_1B_1$. В этой плоскости лежат прямая $MN$ (поскольку точки $M$ и $N$ лежат на ребрах $BB_1$ и $CC_1$ этой грани) и прямая $BC$. При этом прямая $MN$ принадлежит плоскости $(MNK)$, а прямая $BC$ принадлежит плоскости $(ABC)$.

По условию $BM \neq CN$. В трапеции $BCC_1B_1$ (с основаниями $BB_1$ и $CC_1$, если призма не прямая, или в прямоугольнике, если прямая) это означает, что прямые $MN$ и $BC$ не параллельны. Так как они лежат в одной плоскости и не параллельны, они пересекаются. Обозначим точку их пересечения $P$. $$P = MN \cap BC$$ Поскольку $P \in MN$, то $P \in (MNK)$. Поскольку $P \in BC$, то $P \in (ABC)$. Таким образом, точка $P$ является первой точкой искомой линии пересечения.

Вторую общую точку найдем аналогично, рассмотрев грань $CDD_1C_1$. В этой плоскости лежат прямая $NK$ (так как $N \in CC_1$, $K \in DD_1$) и прямая $CD$. Прямая $NK$ принадлежит плоскости $(MNK)$, а прямая $CD$ принадлежит плоскости $(ABC)$.

По условию $CN \neq DK$, следовательно, прямые $NK$ и $CD$ не параллельны. Они лежат в одной плоскости, значит, пересекаются. Обозначим точку их пересечения $Q$. $$Q = NK \cap CD$$ Поскольку $Q \in NK$, то $Q \in (MNK)$. Поскольку $Q \in CD$, то $Q \in (ABC)$. Таким образом, точка $Q$ является второй точкой искомой линии пересечения.

Таким образом, мы нашли две точки $P$ и $Q$, принадлежащие обеим плоскостям. Прямая $PQ$ является линией их пересечения.

Алгоритм построения:
1. Построить прямую, проходящую через точки $M$ и $N$.
2. Построить прямую, проходящую через точки $B$ и $C$.
3. Найти точку пересечения этих прямых: $P = MN \cap BC$.
4. Построить прямую, проходящую через точки $N$ и $K$.
5. Построить прямую, проходящую через точки $C$ и $D$.
6. Найти точку пересечения этих прямых: $Q = NK \cap CD$.
7. Провести прямую через точки $P$ и $Q$. Эта прямая $PQ$ и есть искомая линия пересечения.

Ответ: Искомая линия пересечения – это прямая $PQ$, где $P$ - точка пересечения прямых $MN$ и $BC$, а $Q$ - точка пересечения прямых $NK$ и $CD$.

20.7. Точка $M$ – середина ребра $A_1B_1$ призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точка $K$ – середина ребра $CD$. Постройте линию пересечения плоскостей $AMK$ и $BB_1C_1$.

Для построения линии пересечения плоскости $(AMK)$ и плоскости грани $(BB_1C_1)$, необходимо найти две общие точки этих плоскостей. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой линией пересечения.

1. Нахождение первой общей точки.
Рассмотрим плоскость грани $ABB_1A_1$. В этой плоскости лежат прямая $AM$ (поскольку точки $A$ и $M$ лежат в этой плоскости) и прямая $BB_1$. Прямые $AM$ и $BB_1$ не параллельны, следовательно, они пересекаются. Продлим отрезок $AM$ до пересечения с прямой $BB_1$ и назовем точку их пересечения $P$.

• Так как точка $P$ лежит на прямой $AM$, то она принадлежит плоскости $(AMK)$.
• Так как точка $P$ лежит на прямой $BB_1$, то она принадлежит плоскости $(BB_1C_1)$.

Следовательно, точка $P$ является первой точкой искомой линии пересечения.

2. Нахождение второй общей точки.
Рассмотрим плоскость основания $ABCD$. В этой плоскости лежат прямая $AK$ (поскольку точки $A$ и $K$ лежат в этой плоскости) и прямая $BC$. В основании призмы $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны. Прямая $AK$ не параллельна $AD$ (они пересекаются в точке $A$), значит, она не параллельна и прямой $BC$. Следовательно, прямые $AK$ и $BC$ пересекаются. Продлим отрезок $AK$ до пересечения с прямой $BC$ и назовем точку их пересечения $Q$.

• Так как точка $Q$ лежит на прямой $AK$, то она принадлежит плоскости $(AMK)$.
• Так как точка $Q$ лежит на прямой $BC$, то она принадлежит плоскости $(BB_1C_1)$.

Следовательно, точка $Q$ является второй точкой искомой линии пересечения.

3. Построение линии пересечения.
Соединив точки $P$ и $Q$, мы получим прямую $PQ$. Эта прямая является искомой линией пересечения плоскостей $(AMK)$ и $(BB_1C_1)$, так как обе её точки принадлежат каждой из этих плоскостей.

Ответ: Линией пересечения плоскостей $AMK$ и $BB_1C_1$ является прямая $PQ$, где $P$ — точка пересечения прямых $AM$ и $BB_1$, а $Q$ — точка пересечения прямых $AK$ и $BC$.