Номер 4, страница 185 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 4, страница 185.

Условие.

20.4. Точка $M$ принадлежит грани $BB_1C_1C$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точка $K$ – ребру $AD$ (рис. 20.2). Постройте точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABB_1$.

Рис. 20.2

Решение 1.

Решение 3.

Для построения точки пересечения прямой $MK$ с плоскостью грани $ABB_1A_1$ (далее — плоскость $(ABB_1)$) воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей.

Построение:

1. Спроецируем точку $M$ на плоскость нижнего основания куба $(ABC)$. Для этого из точки $M$, лежащей на грани $BB_1C_1C$, проведем прямую, параллельную ребру $BB_1$. Точку пересечения этой прямой с ребром $BC$ обозначим $M'$. Таким образом, $MM' \parallel BB_1$.

2. Рассмотрим вспомогательную плоскость $\sigma$, проходящую через прямую $MK$. Такая плоскость однозначно определяется тремя точками $M$, $K$ и $M'$.

3. Найдем прямую $l$, являющуюся линией пересечения вспомогательной плоскости $\sigma = (MKM')$ и заданной плоскости $(ABB_1)$.

4. Прямые $KM'$ и $AB$ лежат в одной плоскости $(ABC)$. Найдем их точку пересечения, продлив отрезки $KM'$ и $AB$. Обозначим эту точку как $X$. Так как точка $X$ лежит на прямой $AB$, она принадлежит плоскости $(ABB_1)$. Так как точка $X$ лежит на прямой $KM'$, она принадлежит плоскости $\sigma$. Следовательно, точка $X$ лежит на линии пересечения $l$.

5. По построению, прямая $MM'$ параллельна ребру $BB_1$, которое лежит в плоскости $(ABB_1)$. Это означает, что прямая $MM'$ параллельна плоскости $(ABB_1)$.

6. Согласно свойству, если плоскость ($\sigma$) проходит через прямую ($MM'$), параллельную другой плоскости ($(ABB_1)$), то линия их пересечения ($l$) параллельна этой прямой. Значит, $l \parallel MM'$, и, следовательно, $l \parallel BB_1$.

7. Таким образом, прямая $l$ — это прямая, проходящая через точку $X$ параллельно ребру $BB_1$.

8. Искомая точка $P$ — это точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $(ABB_1)$. Поскольку прямая $l$ лежит в плоскости $(ABB_1)$, а прямая $MK$ вместе с $l$ лежит во вспомогательной плоскости $\sigma$, то искомая точка $P$ является точкой пересечения прямых $MK$ и $l$. Построим точку $P$, продлив прямую $MK$ до пересечения с прямой $l$.

Ответ: Искомая точка $P$ строится как точка пересечения прямой $MK$ и прямой $l$, где $l$ — прямая, проходящая через точку $X = KM' \cap AB$ параллельно ребру $BB_1$, а $M'$ — проекция точки $M$ на плоскость $(ABC)$.