Номер 7, страница 185 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 7, страница 185.

Условие.

20.7. Точка $M$ – середина ребра $A_1B_1$ призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точка $K$ – середина ребра $CD$. Постройте линию пересечения плоскостей $AMK$ и $BB_1C_1$.

Решение 1.

Решение 3.

Для построения линии пересечения плоскости $(AMK)$ и плоскости грани $(BB_1C_1)$, необходимо найти две общие точки этих плоскостей. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой линией пересечения.

1. Нахождение первой общей точки.
Рассмотрим плоскость грани $ABB_1A_1$. В этой плоскости лежат прямая $AM$ (поскольку точки $A$ и $M$ лежат в этой плоскости) и прямая $BB_1$. Прямые $AM$ и $BB_1$ не параллельны, следовательно, они пересекаются. Продлим отрезок $AM$ до пересечения с прямой $BB_1$ и назовем точку их пересечения $P$.

• Так как точка $P$ лежит на прямой $AM$, то она принадлежит плоскости $(AMK)$.
• Так как точка $P$ лежит на прямой $BB_1$, то она принадлежит плоскости $(BB_1C_1)$.

Следовательно, точка $P$ является первой точкой искомой линии пересечения.

2. Нахождение второй общей точки.
Рассмотрим плоскость основания $ABCD$. В этой плоскости лежат прямая $AK$ (поскольку точки $A$ и $K$ лежат в этой плоскости) и прямая $BC$. В основании призмы $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны. Прямая $AK$ не параллельна $AD$ (они пересекаются в точке $A$), значит, она не параллельна и прямой $BC$. Следовательно, прямые $AK$ и $BC$ пересекаются. Продлим отрезок $AK$ до пересечения с прямой $BC$ и назовем точку их пересечения $Q$.

• Так как точка $Q$ лежит на прямой $AK$, то она принадлежит плоскости $(AMK)$.
• Так как точка $Q$ лежит на прямой $BC$, то она принадлежит плоскости $(BB_1C_1)$.

Следовательно, точка $Q$ является второй точкой искомой линии пересечения.

3. Построение линии пересечения.
Соединив точки $P$ и $Q$, мы получим прямую $PQ$. Эта прямая является искомой линией пересечения плоскостей $(AMK)$ и $(BB_1C_1)$, так как обе её точки принадлежат каждой из этих плоскостей.

Ответ: Линией пересечения плоскостей $AMK$ и $BB_1C_1$ является прямая $PQ$, где $P$ — точка пересечения прямых $AM$ и $BB_1$, а $Q$ — точка пересечения прямых $AK$ и $BC$.