Номер 6, страница 185 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 6, страница 185.

Условие.

20.6. На рёбрах $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены соответственно точки $M$, $N$ и $K$, причём $BM \neq CN$, $BM \neq DK$ и $CN \neq DK$.

Постройте линию пересечения плоскостей $ABC$ и $MNK$.

Решение 1.

Решение 3.

Для построения линии пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(MNK)$ необходимо найти две точки, принадлежащие обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой линией пересечения.

Найдем первую общую точку. Рассмотрим плоскость боковой грани $BCC_1B_1$. В этой плоскости лежат прямая $MN$ (поскольку точки $M$ и $N$ лежат на ребрах $BB_1$ и $CC_1$ этой грани) и прямая $BC$. При этом прямая $MN$ принадлежит плоскости $(MNK)$, а прямая $BC$ принадлежит плоскости $(ABC)$.

По условию $BM \neq CN$. В трапеции $BCC_1B_1$ (с основаниями $BB_1$ и $CC_1$, если призма не прямая, или в прямоугольнике, если прямая) это означает, что прямые $MN$ и $BC$ не параллельны. Так как они лежат в одной плоскости и не параллельны, они пересекаются. Обозначим точку их пересечения $P$. $$P = MN \cap BC$$ Поскольку $P \in MN$, то $P \in (MNK)$. Поскольку $P \in BC$, то $P \in (ABC)$. Таким образом, точка $P$ является первой точкой искомой линии пересечения.

Вторую общую точку найдем аналогично, рассмотрев грань $CDD_1C_1$. В этой плоскости лежат прямая $NK$ (так как $N \in CC_1$, $K \in DD_1$) и прямая $CD$. Прямая $NK$ принадлежит плоскости $(MNK)$, а прямая $CD$ принадлежит плоскости $(ABC)$.

По условию $CN \neq DK$, следовательно, прямые $NK$ и $CD$ не параллельны. Они лежат в одной плоскости, значит, пересекаются. Обозначим точку их пересечения $Q$. $$Q = NK \cap CD$$ Поскольку $Q \in NK$, то $Q \in (MNK)$. Поскольку $Q \in CD$, то $Q \in (ABC)$. Таким образом, точка $Q$ является второй точкой искомой линии пересечения.

Таким образом, мы нашли две точки $P$ и $Q$, принадлежащие обеим плоскостям. Прямая $PQ$ является линией их пересечения.

Алгоритм построения:
1. Построить прямую, проходящую через точки $M$ и $N$.
2. Построить прямую, проходящую через точки $B$ и $C$.
3. Найти точку пересечения этих прямых: $P = MN \cap BC$.
4. Построить прямую, проходящую через точки $N$ и $K$.
5. Построить прямую, проходящую через точки $C$ и $D$.
6. Найти точку пересечения этих прямых: $Q = NK \cap CD$.
7. Провести прямую через точки $P$ и $Q$. Эта прямая $PQ$ и есть искомая линия пересечения.

Ответ: Искомая линия пересечения – это прямая $PQ$, где $P$ - точка пересечения прямых $MN$ и $BC$, а $Q$ - точка пересечения прямых $NK$ и $CD$.