Номер 8, страница 186 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 8, страница 186.

Условие.

20.8. На рёбрах $AB$, $AD$, $AC$ и $BC$ тетраэдра $DABC$ отметили соответственно точки $E$, $F$, $M$ и $K$. Постройте линию пересечения плоскостей $EFM$ и $DAK$.

Решение 1.

Решение 3.

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две их общие точки, либо одну общую точку и направление линии пересечения. Искомая линия будет прямой, проходящей через эти точки, или через точку в заданном направлении. Обозначим заданные плоскости как $\alpha = (EFM)$ и $\beta = (DAK)$.

1. Нахождение первой общей точки

Рассмотрим точку $F$. По условию, точка $F$ лежит на ребре $AD$. Плоскость $\beta = (DAK)$ содержит точки $D$ и $A$, а значит, и всю прямую $DA$. Поскольку $F \in AD$, то точка $F$ принадлежит плоскости $(DAK)$. Плоскость $\alpha = (EFM)$ по своему определению проходит через точку $F$, то есть $F \in (EFM)$. Так как точка $F$ принадлежит обеим плоскостям, она является одной из точек их линии пересечения.

2. Нахождение второй общей точки (общий случай)

Для нахождения второй общей точки используем метод вспомогательных секущих плоскостей. В качестве такой плоскости удобно выбрать плоскость основания тетраэдра $(ABC)$.

Найдем линию пересечения плоскости $(EFM)$ с плоскостью основания $(ABC)$. Точки $E$ и $M$ по условию лежат на ребрах $AB$ и $AC$ соответственно. Ребра $AB$ и $AC$ принадлежат плоскости $(ABC)$, поэтому точки $E$ и $M$ также принадлежат плоскости $(ABC)$. Следовательно, прямая $EM$ является линией пересечения плоскостей $(EFM)$ и $(ABC)$, так как $EM \subset (EFM)$ и $EM \subset (ABC)$.

Аналогично найдем линию пересечения плоскости $(DAK)$ с плоскостью основания $(ABC)$. Точки $A$ и $K$ (где $K \in BC$) принадлежат плоскости $(DAK)$ и плоскости $(ABC)$. Следовательно, прямая $AK$ является линией пересечения плоскостей $(DAK)$ и $(ABC)$.

В общем случае прямые $EM$ и $AK$ лежат в одной плоскости $(ABC)$ и пересекаются. Обозначим точку их пересечения $Q$. Итак, $Q = EM \cap AK$.

Поскольку точка $Q$ лежит на прямой $EM$, а прямая $EM$ принадлежит плоскости $(EFM)$, то точка $Q$ принадлежит плоскости $(EFM)$. Поскольку точка $Q$ лежит на прямой $AK$, а прямая $AK$ принадлежит плоскости $(DAK)$, то точка $Q$ принадлежит плоскости $(DAK)$. Таким образом, точка $Q$ является второй общей точкой плоскостей $(EFM)$ и $(DAK)$.

3. Построение искомой линии пересечения

Алгоритм построения для общего случая:

1. В плоскости основания $(ABC)$ строим прямую $EM$.
2. В плоскости основания $(ABC)$ строим прямую $AK$.
3. Находим точку пересечения прямых $EM$ и $AK$ и обозначаем её $Q$.
4. Проводим прямую через точки $F$ и $Q$. Эта прямая $FQ$ и есть искомая линия пересечения.

Частный случай: Если в плоскости основания $(ABC)$ прямые $EM$ и $AK$ оказываются параллельны ($EM \parallel AK$), то их точка пересечения $Q$ не существует в евклидовом пространстве (уходит в бесконечность). В этом случае линия пересечения плоскостей $(EFM)$ и $(DAK)$ будет параллельна прямым $EM$ и $AK$. Тогда для построения искомой прямой нужно через уже найденную общую точку $F$ провести прямую, параллельную $AK$ (и $EM$).

Ответ: В общем случае искомая линия пересечения — это прямая $FQ$, где $Q$ — точка пересечения прямых $EM$ и $AK$. Если прямые $EM$ и $AK$ параллельны, то искомая линия — это прямая, проходящая через точку $F$ параллельно прямой $AK$.