Номер 15, страница 186 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 15, страница 186.

Условие.

20.15. Точка M не лежит в плоскости параллелограмма ABCD. Докажите, что $AB \parallel CMD$.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, его противолежащие стороны по определению параллельны. Следовательно, прямая $AB$ параллельна прямой $CD$, то есть $AB \parallel CD$.

Рассмотрим плоскость $CMD$. Эта плоскость проходит через точки $C$, $M$ и $D$. Так как точки $C$ и $D$ принадлежат этой плоскости, то и вся прямая $CD$ лежит в плоскости $CMD$.

Теперь необходимо убедиться, что прямая $AB$ не лежит в плоскости $CMD$. Предположим обратное: пусть прямая $AB$ лежит в плоскости $CMD$. Тогда точка $A$ (вместе с точкой $B$) принадлежит плоскости $CMD$. Но точки $C$ и $D$ также лежат в этой плоскости. Это означает, что все четыре вершины параллелограмма ($A, B, C, D$) лежат в плоскости $CMD$. Следовательно, плоскость параллелограмма $ABCD$ совпадает с плоскостью $CMD$. Однако это противоречит условию задачи, в котором сказано, что точка $M$ не лежит в плоскости параллелограмма $ABCD$ (но при этом она по построению лежит в плоскости $CMD$). Значит, наше предположение было неверным, и прямая $AB$ не лежит в плоскости $CMD$.

Теперь мы можем применить признак параллельности прямой и плоскости, который гласит: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

В нашем случае:

1. Прямая $AB$ не лежит в плоскости $CMD$.
2. Прямая $AB$ параллельна прямой $CD$ ($AB \parallel CD$).
3. Прямая $CD$ лежит в плоскости $CMD$.

Из этих трех фактов следует, что прямая $AB$ параллельна плоскости $CMD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $AB \parallel CMD$.