Номер 17, страница 186 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 17, страница 186.

Условие.

20.17. Сколько плоскостей, параллельных данной прямой, можно провести через данную точку?

Решение 1.

Решение 3.

Решение этой задачи зависит от взаимного расположения данной точки и данной прямой. Необходимо рассмотреть два возможных случая.

Случай, когда точка лежит на данной прямой

Пусть дана прямая $l$ и точка $M$, причём точка $M$ принадлежит прямой $l$ ($M \in l$). По определению, прямая параллельна плоскости, если они не имеют общих точек. Любая плоскость $\alpha$, проведённая через точку $M$, будет иметь с прямой $l$ как минимум одну общую точку — саму точку $M$. Это означает, что прямая $l$ пересекает плоскость $\alpha$ (если $M$ — единственная общая точка) или лежит в ней (если все точки прямой $l$ лежат в плоскости $\alpha$). Ни в одном из этих вариантов прямая не является параллельной плоскости. Следовательно, в данной ситуации не существует ни одной плоскости, параллельной прямой $l$ и проходящей через точку $M$.

Ответ: 0.

Случай, когда точка не лежит на данной прямой

Пусть дана прямая $l$ и точка $M$, причём точка $M$ не принадлежит прямой $l$ ($M \notin l$). Согласно аксиоме о параллельных прямых в пространстве, через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Проведём через точку $M$ прямую $l'$, параллельную прямой $l$ ($l' \parallel l$).

Теперь рассмотрим любую плоскость $\alpha$, которая проходит через построенную прямую $l'$.
1. Такая плоскость проходит через точку $M$, так как $M \in l'$.
2. Такая плоскость параллельна прямой $l$ согласно признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая ($l$), не лежащая в плоскости ($\alpha$), параллельна некоторой прямой ($l'$), лежащей в этой плоскости, то прямая $l$ параллельна плоскости $\alpha$. Все условия признака выполняются.

Через любую прямую в пространстве (в нашем случае — через прямую $l'$) можно провести бесконечное множество различных плоскостей. Каждая из этих плоскостей будет проходить через точку $M$ и будет параллельна данной прямой $l$.

Ответ: Бесконечно много.