Номер 24, страница 187 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 24, страница 187.

Условие.

20.24. Медианы грани $ADB$ тетраэдра $DABC$ пересекаются в точке $E$, а медианы грани $BDC$ — в точке $F$. Докажите, что прямая $EF$ параллельна плоскости $ABC$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $M$ — середина ребра $AB$, а $N$ — середина ребра $BC$.
Точка $E$ является точкой пересечения медиан грани $ADB$. Это означает, что $E$ — центроид треугольника $ADB$. Одна из медиан этого треугольника — отрезок $DM$. Точка $E$ лежит на этом отрезке.
Аналогично, точка $F$ является точкой пересечения медиан грани $BDC$. Это означает, что $F$ — центроид треугольника $BDC$. Одна из медиан этого треугольника — отрезок $DN$. Точка $F$ лежит на этом отрезке.

По свойству точки пересечения медиан треугольника, она делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.Следовательно, для медианы $DM$ треугольника $ADB$ выполняется соотношение:$DE : EM = 2:1$, из чего следует, что $\frac{DE}{DM} = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$.
Для медианы $DN$ треугольника $BDC$ выполняется соотношение:$DF : FN = 2:1$, из чего следует, что $\frac{DF}{DN} = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$.

Рассмотрим треугольник $DMN$. Точки $E$ и $F$ лежат на его сторонах $DM$ и $DN$ соответственно. Так как $\frac{DE}{DM} = \frac{DF}{DN} = \frac{2}{3}$, то по теореме, обратной теореме Фалеса, прямая $EF$ параллельна прямой $MN$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MN$ соединяет середины его сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, $MN$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне, то есть $MN \parallel AC$.

Таким образом, мы установили, что $EF \parallel MN$ и $MN \parallel AC$. Из этого по свойству транзитивности параллельных прямых следует, что $EF \parallel AC$.

Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.Поскольку прямая $AC$ лежит в плоскости $ABC$, а прямая $EF$ параллельна прямой $AC$, то прямая $EF$ параллельна плоскости $ABC$.Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямая EF параллельна плоскости ABC.