Номер 28, страница 188 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 28, страница 188.

Условие.

20.28. Основанием пирамиды $MABCD$ является прямоугольник $ABCD$. Точка $K$ – середина ребра $AD$. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $K$ параллельно плоскости $ABM$. Найдите периметр полученного сечения, если $MA = MB = 16$ см, $AB = 10$ см.

Решение 1.

Решение 3.

Построение сечения

Пусть $\alpha$ - секущая плоскость. По условию, она проходит через точку $K$ (середину ребра $AD$) и параллельна плоскости $(ABM)$.

1. Линия пересечения секущей плоскости $\alpha$ с гранью $(MAD)$ должна проходить через точку $K$ и быть параллельной линии пересечения плоскостей $(ABM)$ и $(MAD)$, то есть прямой $MA$. Проведем отрезок $KL$ в грани $(MAD)$ так, что точка $L$ лежит на ребре $MD$, а $KL \parallel MA$.

2. Линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью основания $(ABCD)$ должна проходить через точку $K$ и быть параллельной линии пересечения плоскостей $(ABM)$ и $(ABCD)$, то есть прямой $AB$. Проведем отрезок $KN$ в плоскости основания так, что точка $N$ лежит на ребре $BC$, а $KN \parallel AB$.

3. Линия пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $(MBC)$ должна проходить через точку $N$ и быть параллельной линии пересечения плоскостей $(ABM)$ и $(MBC)$, то есть прямой $MB$. Проведем отрезок $NP$ в грани $(MBC)$ так, что точка $P$ лежит на ребре $MC$, а $NP \parallel MB$.

4. Соединим точки $L$ и $P$, лежащие в одной грани $(MDC)$.

Таким образом, искомое сечение — это четырехугольник $KLPN$.

Нахождение периметра полученного сечения

Периметр четырехугольника $KLPN$ равен сумме длин его сторон: $P_{KLPN} = KL + LP + PN + NK$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MAD$. Так как $K$ — середина $AD$ и по построению $KL \parallel MA$, то по теореме Фалеса $L$ — середина $MD$. Следовательно, $KL$ является средней линией $\triangle MAD$.

$KL = \frac{1}{2} MA = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Рассмотрим основание $ABCD$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $AD \parallel BC$. Так как $K$ — середина $AD$ и $KN \parallel AB$, то из свойств прямоугольника следует, что $N$ — середина $BC$. Отрезок $KN$ соединяет середины боковых сторон прямоугольника, поэтому он параллелен основаниям $AB$ и $CD$ и равен им по длине.

$KN = AB = 10$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle MBC$. Так как $N$ — середина $BC$ и по построению $NP \parallel MB$, то по теореме Фалеса $P$ — середина $MC$. Следовательно, $NP$ является средней линией $\triangle MBC$.

$NP = \frac{1}{2} MB = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle MDC$. Так как $L$ — середина $MD$ и $P$ — середина $MC$, то $LP$ является средней линией $\triangle MDC$.

$LP = \frac{1}{2} DC$.

В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны равны, поэтому $DC = AB = 10$ см. Тогда:

$LP = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

Теперь вычислим периметр сечения:

$P_{KLPN} = KL + LP + PN + NK = 8 + 5 + 8 + 10 = 31$ см.

Ответ: 31 см.