Номер 27, страница 188 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 27, страница 188.

Условие.

20.27. На ребре $DA$ тетраэдра $DABC$ отметили точку $M$ так, что $AM : MD = 4 : 3$ (рис. 20.10). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $M$ параллельно плоскости $ABC$. Вычислите площадь полученного сечения, если $AB = BC = AC = 28$ см.

Рис. 20.10

Решение 1.

Решение 3.

Построение сечения

Пусть искомая плоскость сечения будет $\alpha$. По условию, она проходит через точку $M$ на ребре $DA$ и параллельна плоскости основания $ABC$.

Построение основано на свойстве параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

1. Плоскость грани $DAB$ пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $ABC$. Линия пересечения плоскостей $DAB$ и $ABC$ — это прямая $AB$. Следовательно, линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $DAB$ — это прямая, проходящая через точку $M$ и параллельная $AB$. Проведём эту прямую до пересечения с ребром $DB$ в точке $N$. Получим отрезок $MN \parallel AB$.
2. Аналогично, плоскость грани $DAC$ пересекает плоскости $\alpha$ и $ABC$. Линия их пересечения — $AC$. Следовательно, линия пересечения $\alpha$ и $DAC$ — это прямая, проходящая через точку $M$ и параллельная $AC$. Проведём эту прямую до пересечения с ребром $DC$ в точке $P$. Получим отрезок $MP \parallel AC$.
3. Соединим точки $N$ и $P$. Отрезок $NP$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $DBC$. Так как $\alpha \parallel ABC$, то $NP \parallel BC$.

Треугольник $MNP$ и есть искомое сечение тетраэдра.

Ответ: Искомым сечением является треугольник $MNP$, плоскость которого параллельна плоскости $ABC$, а его вершины $M, N, P$ лежат на ребрах $DA, DB, DC$ тетраэдра соответственно.

Вычисление площади сечения

Так как плоскость сечения $MNP$ параллельна плоскости основания $ABC$, то тетраэдр $DMNP$ подобен тетраэдру $DABC$. Следовательно, треугольник сечения $MNP$ подобен треугольнику основания $ABC$.

Коэффициент подобия $k$ можно найти из отношения длин рёбер, выходящих из общей вершины $D$:

$k = \frac{DM}{DA}$

Из условия задачи $AM : MD = 4 : 3$. Это означает, что отрезок $DA$ можно разделить на $4+3=7$ равных частей. Тогда $AM$ составляет 4 части, а $MD$ — 3 части. Таким образом, отношение $MD$ ко всему ребру $DA$ равно:

$k = \frac{MD}{DA} = \frac{3}{4+3} = \frac{3}{7}$

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{MNP}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{3}{7}\right)^2 = \frac{9}{49}$

Площадь сечения $S_{MNP}$ можно выразить через площадь основания $S_{ABC}$:

$S_{MNP} = S_{ABC} \cdot \frac{9}{49}$

Основание $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной $a = 28$ см. Его площадь вычисляется по формуле:

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$S_{ABC} = \frac{28^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{784\sqrt{3}}{4} = 196\sqrt{3}$ см$^2$.

Теперь вычислим площадь сечения $MNP$:

$S_{MNP} = 196\sqrt{3} \cdot \frac{9}{49} = \frac{196}{49} \cdot 9\sqrt{3} = 4 \cdot 9\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $36\sqrt{3}$ см$^2$.