Номер 23, страница 187 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 23, страница 187.

Условие.

20.23. На ребре $AC$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ отметили точку $D$ (рис. 20.7). Постройте сечение призмы плоскостью $BDB_1$.

Рис. 20.7

Рис. 20.8

Рис. 20.9

Решение 1.

Решение 3.

Для построения сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $BDB_1$ необходимо последовательно найти линии пересечения секущей плоскости с гранями призмы.

Сначала соединим точки, лежащие в одной грани. Точки $B$ и $D$ лежат в плоскости нижнего основания $(ABC)$. Так как они принадлежат секущей плоскости, то отрезок $BD$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $ABC$.

Точки $B$ и $B_1$ определяют боковое ребро $BB_1$, которое также принадлежит секущей плоскости. Этот отрезок будет одной из сторон искомого сечения.

Далее воспользуемся свойством параллельности оснований призмы. Плоскости оснований $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$ параллельны. Секущая плоскость $(BDB_1)$ пересекает эти две параллельные плоскости, а значит, линии их пересечения также параллельны. Линия пересечения с плоскостью $(ABC)$ — это прямая $BD$. Следовательно, линия пересечения с плоскостью $(A_1B_1C_1)$ — это прямая, проходящая через точку $B_1$ (которая лежит и в секущей плоскости, и в плоскости верхнего основания) и параллельная прямой $BD$.

Проведём в плоскости верхнего основания через точку $B_1$ прямую, параллельную $BD$. Эта прямая пересечёт ребро $A_1C_1$ в точке, которую обозначим $D_1$. Отрезок $B_1D_1$ является линией пересечения секущей плоскости с верхней гранью $A_1B_1C_1$.

Теперь у нас есть четыре вершины сечения: $B, D, B_1$ и $D_1$. Соединим точки $D$ и $D_1$. Обе точки лежат в плоскости боковой грани $(ACC_1A_1)$, поэтому отрезок $DD_1$ является последней стороной сечения, лежащей на этой грани.

В результате получаем искомое сечение — четырёхугольник $BDD_1B_1$.

Ответ: Искомое сечение — четырёхугольник $BDD_1B_1$, где $D_1$ — точка на ребре $A_1C_1$ такая, что $B_1D_1 \parallel BD$.