Номер 19, страница 186 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 19, страница 186.

Условие.

20.19. Дано: $\alpha \cap \beta = c, A \in \alpha, B \in \beta, A \notin c, B \notin c$. Проведите через точки $A$ и $B$ плоскость, параллельную прямой $c$.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения данной задачи необходимо выполнить построение и доказать, что построенная плоскость удовлетворяет всем условиям.

Построение

1. В плоскости $\alpha$, которой принадлежит точка $A$, проведём через точку $A$ прямую $a$, параллельную прямой $c$ ($a \parallel c$). Согласно аксиоме о параллельных прямых, такая прямая существует и единственна, и она целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).
2. Аналогично, в плоскости $\beta$, которой принадлежит точка $B$, проведём через точку $B$ прямую $b$, параллельную прямой $c$ ($b \parallel c$). Эта прямая также существует, единственна и целиком лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$).
3. Из того, что $a \parallel c$ и $b \parallel c$, по свойству транзитивности параллельных прямых следует, что $a \parallel b$.
4. Прямые $a$ и $b$ не совпадают. Если бы они совпадали ($a=b$), то эта прямая принадлежала бы обеим плоскостям $\alpha$ и $\beta$, а значит, была бы их линией пересечения, то есть $a=c$. Но по условию $A \notin c$, тогда как по построению $A \in a$, что является противоречием.
5. Через две различные параллельные прямые $a$ и $b$ проходит единственная плоскость. Обозначим эту плоскость $\gamma$. Эта плоскость и является искомой.

Обоснование

Докажем, что построенная плоскость $\gamma$ удовлетворяет всем условиям задачи и является единственной.

1. Плоскость $\gamma$ проходит через точки A и B. По построению, точка $A$ лежит на прямой $a$ ($A \in a$), а прямая $a$ лежит в плоскости $\gamma$ ($a \subset \gamma$). Следовательно, $A \in \gamma$. Аналогично, $B \in b$ и $b \subset \gamma$, следовательно, $B \in \gamma$.
2. Плоскость $\gamma$ параллельна прямой $c$. По признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. В нашем случае, прямая $a$ лежит в плоскости $\gamma$ ($a \subset \gamma$) и параллельна прямой $c$ ($a \parallel c$). Необходимо доказать, что прямая $c$ не лежит в плоскости $\gamma$ ($c \not\subset \gamma$). Предположим обратное: $c \subset \gamma$. Тогда в плоскости $\gamma$ лежат две параллельные прямые $a$ и $c$. Эти же две прямые лежат и в плоскости $\alpha$. Поскольку через две параллельные прямые проходит единственная плоскость, то плоскости $\alpha$ и $\gamma$ должны совпадать ($\alpha = \gamma$). Аналогично, из того, что $b \subset \gamma$, $c \subset \gamma$ и $b \parallel c$, а также $b, c \subset \beta$, следует, что $\beta = \gamma$. Тогда получается, что $\alpha = \beta$. Это противоречит условию задачи, согласно которому плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$ (а не совпадают). Следовательно, наше предположение неверно, и $c \not\subset \gamma$. Таким образом, все условия признака параллельности прямой и плоскости выполнены, и можно заключить, что $c \parallel \gamma$.
3. Единственность решения. Предположим, что существует другая плоскость $\gamma'$, которая также проходит через точки $A$ и $B$ и параллельна прямой $c$. Так как $A \in \gamma'$ и $c \parallel \gamma'$, то линия пересечения плоскости $\gamma'$ с плоскостью $\alpha$ (которая содержит точку $A$ и в которой лежит прямая $c$) должна быть прямой, проходящей через $A$ и параллельной $c$. В плоскости $\alpha$ такая прямая единственна — это построенная нами прямая $a$. Значит, $a \subset \gamma'$. Аналогично, линия пересечения $\gamma'$ с плоскостью $\beta$ — это прямая, проходящая через $B$ и параллельная $c$, то есть прямая $b$. Значит, $b \subset \gamma'$. Поскольку плоскость $\gamma'$ содержит две различные параллельные прямые $a$ и $b$, а через них проходит только одна плоскость, то $\gamma'$ должна совпадать с $\gamma$. Это доказывает единственность решения.

Ответ: Искомая плоскость — это плоскость, однозначно заданная двумя параллельными прямыми: прямой, проведённой через точку $A$ в плоскости $\alpha$ параллельно прямой $c$, и прямой, проведённой через точку $B$ в плоскости $\beta$ параллельно прямой $c$.