Страница 186 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.8. На рёбрах $AB$, $AD$, $AC$ и $BC$ тетраэдра $DABC$ отметили соответственно точки $E$, $F$, $M$ и $K$. Постройте линию пересечения плоскостей $EFM$ и $DAK$.

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две их общие точки, либо одну общую точку и направление линии пересечения. Искомая линия будет прямой, проходящей через эти точки, или через точку в заданном направлении. Обозначим заданные плоскости как $\alpha = (EFM)$ и $\beta = (DAK)$.

Рассмотрим точку $F$. По условию, точка $F$ лежит на ребре $AD$. Плоскость $\beta = (DAK)$ содержит точки $D$ и $A$, а значит, и всю прямую $DA$. Поскольку $F \in AD$, то точка $F$ принадлежит плоскости $(DAK)$. Плоскость $\alpha = (EFM)$ по своему определению проходит через точку $F$, то есть $F \in (EFM)$. Так как точка $F$ принадлежит обеим плоскостям, она является одной из точек их линии пересечения.

Для нахождения второй общей точки используем метод вспомогательных секущих плоскостей. В качестве такой плоскости удобно выбрать плоскость основания тетраэдра $(ABC)$.

Найдем линию пересечения плоскости $(EFM)$ с плоскостью основания $(ABC)$. Точки $E$ и $M$ по условию лежат на ребрах $AB$ и $AC$ соответственно. Ребра $AB$ и $AC$ принадлежат плоскости $(ABC)$, поэтому точки $E$ и $M$ также принадлежат плоскости $(ABC)$. Следовательно, прямая $EM$ является линией пересечения плоскостей $(EFM)$ и $(ABC)$, так как $EM \subset (EFM)$ и $EM \subset (ABC)$.

Аналогично найдем линию пересечения плоскости $(DAK)$ с плоскостью основания $(ABC)$. Точки $A$ и $K$ (где $K \in BC$) принадлежат плоскости $(DAK)$ и плоскости $(ABC)$. Следовательно, прямая $AK$ является линией пересечения плоскостей $(DAK)$ и $(ABC)$.

В общем случае прямые $EM$ и $AK$ лежат в одной плоскости $(ABC)$ и пересекаются. Обозначим точку их пересечения $Q$. Итак, $Q = EM \cap AK$.

Поскольку точка $Q$ лежит на прямой $EM$, а прямая $EM$ принадлежит плоскости $(EFM)$, то точка $Q$ принадлежит плоскости $(EFM)$. Поскольку точка $Q$ лежит на прямой $AK$, а прямая $AK$ принадлежит плоскости $(DAK)$, то точка $Q$ принадлежит плоскости $(DAK)$. Таким образом, точка $Q$ является второй общей точкой плоскостей $(EFM)$ и $(DAK)$.

Алгоритм построения для общего случая:

1. В плоскости основания $(ABC)$ строим прямую $EM$.
2. В плоскости основания $(ABC)$ строим прямую $AK$.
3. Находим точку пересечения прямых $EM$ и $AK$ и обозначаем её $Q$.
4. Проводим прямую через точки $F$ и $Q$. Эта прямая $FQ$ и есть искомая линия пересечения.

Частный случай: Если в плоскости основания $(ABC)$ прямые $EM$ и $AK$ оказываются параллельны ($EM \parallel AK$), то их точка пересечения $Q$ не существует в евклидовом пространстве (уходит в бесконечность). В этом случае линия пересечения плоскостей $(EFM)$ и $(DAK)$ будет параллельна прямым $EM$ и $AK$. Тогда для построения искомой прямой нужно через уже найденную общую точку $F$ провести прямую, параллельную $AK$ (и $EM$).

Ответ: В общем случае искомая линия пересечения — это прямая $FQ$, где $Q$ — точка пересечения прямых $EM$ и $AK$. Если прямые $EM$ и $AK$ параллельны, то искомая линия — это прямая, проходящая через точку $F$ параллельно прямой $AK$.

20.9. На рёбрах $DA$ и $DB$ тетраэдра $DABC$ отметили соответственно точки $M$ и $K$. Постройте линию пересечения плоскостей $ABC$ и $MKC$.

20.9. Для построения линии пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(MKC)$ необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет являться искомой линией пересечения.

1. Нахождение первой общей точки.
Точка $C$ по определению принадлежит плоскости $(ABC)$. Также точка $C$ является одной из трёх точек, задающих плоскость $(MKC)$. Следовательно, точка $C$ является общей для обеих плоскостей и лежит на их линии пересечения.

2. Нахождение второй общей точки.
Рассмотрим прямую $MK$. Поскольку точка $M$ лежит на ребре $DA$ и точка $K$ лежит на ребре $DB$, то вся прямая $MK$ лежит в плоскости грани $(DAB)$.
Прямая $AB$ также лежит в плоскости грани $(DAB)$.
Так как обе прямые, $MK$ и $AB$, лежат в одной плоскости $(DAB)$, они либо пересекаются, либо параллельны. В общем случае они пересекаются. Найдём точку их пересечения, продлив отрезки $MK$ и $AB$ до их встречи. Обозначим эту точку $P$.
Теперь докажем, что точка $P$ принадлежит обеим исходным плоскостям:
- Так как точка $P$ лежит на прямой $AB$ ($P \in AB$), а прямая $AB$ целиком лежит в плоскости $(ABC)$, то точка $P$ принадлежит плоскости $(ABC)$.
- Так как точка $P$ лежит на прямой $MK$ ($P \in MK$), а прямая $MK$ целиком лежит в плоскости $(MKC)$, то точка $P$ принадлежит плоскости $(MKC)$.
Таким образом, точка $P$ является второй общей точкой для плоскостей $(ABC)$ и $(MKC)$.

3. Построение линии пересечения.
Мы нашли две общие точки для плоскостей $(ABC)$ и $(MKC)$: это точки $C$ и $P$. Через две различные точки проходит единственная прямая. Следовательно, прямая $CP$ является искомой линией пересечения.

Алгоритм построения:
1. В плоскости грани $DAB$ строим прямые $MK$ и $AB$.
2. Находим точку их пересечения $P = MK \cap AB$.
3. Проводим прямую через точки $C$ и $P$.

Ответ: Линией пересечения плоскостей $ABC$ и $MKC$ является прямая $CP$, где $P$ — точка пересечения прямых $MK$ и $AB$.

20.10. Дан тетраэдр $DABC$ (рис. 20.4). Запишите все пары его скрещивающихся рёбер.

20.10. Скрещивающиеся прямые — это прямые в пространстве, которые не пересекаются и не параллельны. В тетраэдре $DABC$ рёбра являются скрещивающимися, если они не имеют общих вершин и не лежат в одной грани. У тетраэдра 6 рёбер: $DA, DB, DC, AB, BC, CA$.

Найдём все пары скрещивающихся рёбер, рассмотрев каждое ребро поочерёдно:

1. Ребро $DA$ имеет общие вершины с рёбрами $DB, DC, AB, AC$. Единственное ребро, с которым у $DA$ нет общих вершин, — это $BC$. Рёбра $DA$ и $BC$ не лежат в одной грани, следовательно, они скрещиваются.

2. Ребро $DB$ имеет общие вершины с рёбрами $DA, DC, AB, BC$. Единственное ребро, с которым у $DB$ нет общих вершин, — это $AC$. Рёбра $DB$ и $AC$ не лежат в одной грани, следовательно, они скрещиваются.

3. Ребро $DC$ имеет общие вершины с рёбрами $DA, DB, AC, BC$. Единственное ребро, с которым у $DC$ нет общих вершин, — это $AB$. Рёбра $DC$ и $AB$ не лежат в одной грани, следовательно, они скрещиваются.

Все остальные пары рёбер либо пересекаются, либо лежат в одной грани. Таким образом, мы нашли все три пары скрещивающихся рёбер.

Ответ: $DA$ и $BC$; $DB$ и $AC$; $DC$ и $AB$.

20.11.

1) МК и ВС

По свойству параллелограмма $ABCD$, его противоположные стороны параллельны, следовательно, $AD \parallel BC$. По условию задачи дано, что прямая $MK \parallel AD$. Из двух утверждений $MK \parallel AD$ и $AD \parallel BC$, по свойству транзитивности параллельных прямых (если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой), следует, что $MK \parallel BC$.

2) МК и АВ

Прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися. Проверим каждую возможность для прямых $MK$ и $AB$.

1. Являются ли прямые параллельными? По условию $MK \parallel AD$. Стороны $AB$ и $AD$ параллелограмма являются смежными, они пересекаются в точке $A$ и не параллельны. Если предположить, что $MK \parallel AB$, то из $MK \parallel AD$ следовало бы, что $AB \parallel AD$, что неверно. Значит, прямые $MK$ и $AB$ не параллельны.

2. Являются ли прямые пересекающимися? Предположим, что прямые $MK$ и $AB$ пересекаются в некоторой точке $P$. Прямая $AB$ целиком лежит в плоскости параллелограмма $(ABC)$. Если $MK$ пересекает $AB$, то точка пересечения $P$ принадлежит прямой $AB$, а значит, и плоскости $(ABC)$. Но по условию прямая $MK$ не лежит в плоскости $(ABC)$. При этом известно, что $MK \parallel AD$, а $AD$ лежит в плоскости $(ABC)$. По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Таким образом, $MK \parallel (ABC)$. Параллельная плоскости прямая не имеет с ней общих точек. Мы пришли к противоречию: точка $P$ должна одновременно принадлежать и прямой $MK$, и плоскости $(ABC)$. Следовательно, наше предположение неверно, и прямые $MK$ и $AB$ не пересекаются.

Поскольку прямые $MK$ и $AB$ не параллельны и не пересекаются, они являются скрещивающимися.

Ответ: 1) $MK$ и $BC$ — параллельные прямые; 2) $MK$ и $AB$ — скрещивающиеся прямые.

20.12.

Для доказательства того, что прямые $a$ и $c$ являются скрещивающимися, необходимо показать, что они не пересекаются и не параллельны.

1. По условию задачи, "прямая $c$ не пересекает прямую $a$". Таким образом, первая часть определения скрещивающихся прямых выполнена.

2. Докажем, что прямые $a$ и $c$ не параллельны. Будем использовать метод доказательства от противного. Предположим, что прямые $a$ и $c$ параллельны, то есть $a \parallel c$. По условию задачи нам также дано, что $a \parallel b$. Из предположения $a \parallel c$ и условия $a \parallel b$ по теореме о трёх параллельных прямых следует, что прямая $c$ должна быть параллельна прямой $b$ ($c \parallel b$). Однако это прямо противоречит другому условию задачи, согласно которому "прямая $c$ ... пересекает прямую $b$". Параллельные прямые не могут пересекаться. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что $a \parallel c$, было неверным. Значит, прямые $a$ и $c$ не параллельны.

Поскольку прямые $a$ и $c$ не пересекаются и не параллельны, по определению они являются скрещивающимися. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

20.11. Прямая $MK$, не лежащая в плоскости параллелограмма $ABCD$, параллельна прямой $AD$. Каково взаимное расположение прямых:

1) $MK$ и $BC$

По условию задачи, $ABCD$ является параллелограммом. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны параллельны. Следовательно, прямая $AD$ параллельна прямой $BC$. Запишем это как $AD \\parallel BC$.

Также по условию, прямая $MK$ параллельна прямой $AD$, то есть $MK \\parallel AD$.

Мы имеем два утверждения: $MK \\parallel AD$ и $AD \\parallel BC$. Согласно теореме о трех параллельных прямых (если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой), мы можем сделать вывод, что $MK \\parallel BC$.

Ответ: прямые $MK$ и $BC$ параллельны.

2) $MK$ и $AB$

Рассмотрим взаимное расположение прямых $MK$ и $AB$ в пространстве. Две прямые могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися.

• Параллельность: По условию $MK \\parallel AD$. В параллелограмме $ABCD$ стороны $AB$ и $AD$ являются смежными и пересекаются в точке $A$, следовательно, они не параллельны ($AB \not\\parallel AD$). Если бы мы предположили, что $MK \\parallel AB$, то из $MK \\parallel AD$ и $MK \\parallel AB$ следовало бы, что $AD \\parallel AB$, что неверно. Значит, прямые $MK$ и $AB$ не могут быть параллельными.
• Пересечение: Если бы прямые $MK$ и $AB$ пересекались, они бы лежали в одной плоскости. Прямая $AB$ лежит в плоскости параллелограмма $ABCD$. Следовательно, и прямая $MK$ должна была бы лежать в этой же плоскости. Однако это противоречит условию задачи, где сказано, что прямая $MK$ не лежит в плоскости параллелограмма $ABCD$. Значит, прямые $MK$ и $AB$ не пересекаются.

Поскольку прямые $MK$ и $AB$ не параллельны и не пересекаются, они являются скрещивающимися.

Это также можно доказать, используя признак скрещивающихся прямых: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. В нашем случае прямая $AB$ лежит в плоскости $(ABC)$. Прямая $MK$ не лежит в плоскости $(ABC)$ и параллельна прямой $AD$, которая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что прямая $MK$ параллельна плоскости $(ABC)$. А так как $AB$ лежит в плоскости $(ABC)$, а $MK$ параллельна этой плоскости, то $MK$ и $AB$ не пересекаются. Как мы уже показали, они и не параллельны. Следовательно, они скрещивающиеся.

Ответ: прямые $MK$ и $AB$ скрещивающиеся.

20.12. Известно, что прямые $a$ и $b$ параллельны, а прямая $c$ не пересекает прямую $a$ и пересекает прямую $b$. Докажите, что прямые $a$ и $c$ скрещивающиеся.

Для доказательства того, что прямые a и c являются скрещивающимися, необходимо установить, что они удовлетворяют определению скрещивающихся прямых, то есть они не пересекаются и не параллельны.

Проверим выполнение этих двух условий на основе данных задачи.

1. Прямые a и c не пересекаются. Этот факт дан непосредственно в условии задачи: «прямая c не пересекает прямую a».

2. Прямые a и c не параллельны. Докажем это утверждение методом от противного. Предположим, что прямые a и c параллельны ($a \parallel c$). По условию задачи мы также знаем, что прямая a параллельна прямой b ($a \parallel b$).

Согласно свойству транзитивности параллельных прямых (если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой), из $a \parallel c$ и $a \parallel b$ следует, что прямые b и c также должны быть параллельны ($b \parallel c$).

Однако это заключение вступает в противоречие с условием задачи, в котором сказано, что прямая c пересекает прямую b. По определению, параллельные прямые не могут пересекаться. Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение о параллельности прямых a и c было неверным. Следовательно, прямые a и c не параллельны.

Поскольку мы установили, что прямые a и c не пересекаются и не являются параллельными, они, по определению, скрещивающиеся.

Ответ: Утверждение доказано, прямые a и c являются скрещивающимися.

20.13. Каждая из прямых $c$ и $d$ пересекает каждую из параллельных прямых $a$ и $b$. Докажите, что прямые $c$ и $d$ не являются скрещивающимися.

Доказательство проведем методом от противного или прямым доказательством, основанным на аксиомах стереометрии. Выберем прямое доказательство.

1. По условию, прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). Согласно аксиоме стереометрии, через две параллельные прямые можно провести плоскость, и притом только одну. Обозначим эту плоскость греческой буквой $\alpha$. Таким образом, обе прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$ и $b \subset \alpha$).

2. Рассмотрим прямую $c$. По условию, она пересекает прямую $a$ и прямую $b$. Пусть точка пересечения $c$ и $a$ будет $A$ ($A = c \cap a$), а точка пересечения $c$ и $b$ будет $B$ ($B = c \cap b$).

3. Поскольку прямая $a$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $A$, принадлежащая прямой $a$, также лежит в плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$). Аналогично, поскольку прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $B$ лежит в плоскости $\alpha$ ($B \in \alpha$).

4. Теперь у нас есть две различные точки $A$ и $B$ (точки не могут совпадать, иначе прямые $a$ и $b$ пересекались бы, что противоречит условию их параллельности), которые принадлежат одновременно и прямой $c$, и плоскости $\alpha$. Согласно еще одной аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Следовательно, прямая $c$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$).

5. Проведем точно такие же рассуждения для прямой $d$. Она пересекает прямую $a$ в точке $C$ и прямую $b$ в точке $D$. Точки $C$ и $D$ принадлежат плоскости $\alpha$, а значит, и вся прямая $d$ лежит в плоскости $\alpha$ ($d \subset \alpha$).

6. В итоге мы установили, что обе прямые, $c$ и $d$, лежат в одной и той же плоскости $\alpha$.

7. По определению, скрещивающимися называются прямые, которые не лежат в одной плоскости. Так как прямые $c$ и $d$ лежат в одной плоскости, они не являются скрещивающимися. Они могут быть либо пересекающимися, либо параллельными.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Прямые $c$ и $d$ не являются скрещивающимися, так как они обе лежат в плоскости, заданной параллельными прямыми $a$ и $b$.

20.14. Отрезки $AB$ и $CD$ – диаметры одной окружности. Плоскость $\alpha$ не имеет общих точек с данной окружностью. Через точки $A$, $B$, $C$ и $D$ провели параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ соответственно в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $D_1$. Найдите отрезок $CC_1$, если $AA_1 = 5$ см, $BB_1 = 9$ см, $DD_1 = 3$ см.

Пусть O — центр окружности. Поскольку отрезки AB и CD являются диаметрами этой окружности, точка O является серединой каждого из этих отрезков.

Через точки A, B, C, D и O проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость α в точках A₁, B₁, C₁, D₁ и O₁ соответственно. Отрезки AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ и OO₁ параллельны друг другу.

Свойство пространственной фигуры, образованной отрезком и его проекцией на плоскость с помощью параллельных прямых, заключается в том, что длина отрезка, соединяющего середину исходного отрезка с плоскостью, равна среднему арифметическому длин отрезков, проведенных из его концов.

Применим это свойство к диаметру AB, серединой которого является точка O. Длина отрезка OO₁ будет равна полусумме длин отрезков AA₁ и BB₁:

$OO_1 = \frac{AA_1 + BB_1}{2}$

Подставим известные значения:

$OO_1 = \frac{5 \text{ см} + 9 \text{ см}}{2} = \frac{14 \text{ см}}{2} = 7 \text{ см}$

Теперь применим то же свойство к диаметру CD, серединой которого также является точка O. Длина отрезка OO₁ также равна полусумме длин отрезков CC₁ и DD₁:

$OO_1 = \frac{CC_1 + DD_1}{2}$

Мы уже нашли, что $OO_1 = 7$ см, и по условию $DD_1 = 3$ см. Подставим эти значения в формулу и найдем $CC_1$:

$7 = \frac{CC_1 + 3}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$14 = CC_1 + 3$

Выразим $CC_1$:

$CC_1 = 14 - 3$

$CC_1 = 11 \text{ см}$

Ответ: 11 см.

20.15. Точка M не лежит в плоскости параллелограмма ABCD. Докажите, что $AB \parallel CMD$.

Поскольку четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, его противолежащие стороны по определению параллельны. Следовательно, прямая $AB$ параллельна прямой $CD$, то есть $AB \parallel CD$.

Рассмотрим плоскость $CMD$. Эта плоскость проходит через точки $C$, $M$ и $D$. Так как точки $C$ и $D$ принадлежат этой плоскости, то и вся прямая $CD$ лежит в плоскости $CMD$.

Теперь необходимо убедиться, что прямая $AB$ не лежит в плоскости $CMD$. Предположим обратное: пусть прямая $AB$ лежит в плоскости $CMD$. Тогда точка $A$ (вместе с точкой $B$) принадлежит плоскости $CMD$. Но точки $C$ и $D$ также лежат в этой плоскости. Это означает, что все четыре вершины параллелограмма ($A, B, C, D$) лежат в плоскости $CMD$. Следовательно, плоскость параллелограмма $ABCD$ совпадает с плоскостью $CMD$. Однако это противоречит условию задачи, в котором сказано, что точка $M$ не лежит в плоскости параллелограмма $ABCD$ (но при этом она по построению лежит в плоскости $CMD$). Значит, наше предположение было неверным, и прямая $AB$ не лежит в плоскости $CMD$.

Теперь мы можем применить признак параллельности прямой и плоскости, который гласит: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

В нашем случае:

1. Прямая $AB$ не лежит в плоскости $CMD$.
2. Прямая $AB$ параллельна прямой $CD$ ($AB \parallel CD$).
3. Прямая $CD$ лежит в плоскости $CMD$.

Из этих трех фактов следует, что прямая $AB$ параллельна плоскости $CMD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $AB \parallel CMD$.

20.16. Докажите, что через точку, не принадлежащую данной плоскости, можно провести прямую, параллельную этой плоскости. Сколько таких прямых можно провести?

Доказательство

Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $M$, не принадлежащая этой плоскости, то есть $M \notin \alpha$. Необходимо доказать, что через точку $M$ можно провести прямую, параллельную плоскости $\alpha$.

1. Выберем в плоскости $\alpha$ любую прямую $a$.

2. Так как точка $M$ не лежит в плоскости $\alpha$, она не лежит и на прямой $a$. Через прямую $a$ и точку $M$ проходит единственная плоскость. Назовем эту плоскость $\beta$.

3. В плоскости $\beta$ лежат прямая $a$ и точка $M$. Согласно аксиоме о параллельных прямых, через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Проведем в плоскости $\beta$ через точку $M$ прямую $b$, параллельную прямой $a$. Таким образом, мы имеем: $M \in b$ и $b \parallel a$.

4. Теперь докажем, что построенная прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$. Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Проверим условия для нашего случая:

• Прямая $b$ проходит через точку $M$, которая не принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая $b$ не может лежать в плоскости $\alpha$.
• Прямая $b$ по построению параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$).
• Прямая $a$ по построению лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

Все условия признака выполнены, значит, прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$.

Таким образом, мы построили прямую $b$, проходящую через данную точку $M$ и параллельную данной плоскости $\alpha$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что через точку, не принадлежащую плоскости, можно провести прямую, параллельную этой плоскости.

Сколько таких прямых можно провести?

При доказательстве существования мы выбрали в плоскости $\alpha$ произвольную прямую $a$. В плоскости $\alpha$ можно провести бесконечное множество различных прямых.

Для каждой из этих прямых (например, $a_1, a_2, a_3, \dots$) в плоскости $\alpha$ можно повторить описанную выше процедуру построения. Мы получим прямые $b_1, b_2, b_3, \dots$, которые все проходят через точку $M$ и параллельны соответствующим прямым $a_1, a_2, a_3, \dots$. Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, все эти прямые ($b_1, b_2, b_3, \dots$) будут параллельны плоскости $\alpha$.

Поскольку в плоскости $\alpha$ можно провести бесконечное множество прямых с разными направлениями, то и через точку $M$ можно провести бесконечное множество прямых, им параллельных. Все эти прямые будут лежать в одной плоскости $\gamma$, проходящей через точку $M$ параллельно плоскости $\alpha$.

Ответ: Через точку, не принадлежащую данной плоскости, можно провести бесконечно много прямых, параллельных этой плоскости.

20.17. Сколько плоскостей, параллельных данной прямой, можно провести через данную точку?

Решение этой задачи зависит от взаимного расположения данной точки и данной прямой. Необходимо рассмотреть два возможных случая.

Случай, когда точка лежит на данной прямой

Пусть дана прямая $l$ и точка $M$, причём точка $M$ принадлежит прямой $l$ ($M \in l$). По определению, прямая параллельна плоскости, если они не имеют общих точек. Любая плоскость $\alpha$, проведённая через точку $M$, будет иметь с прямой $l$ как минимум одну общую точку — саму точку $M$. Это означает, что прямая $l$ пересекает плоскость $\alpha$ (если $M$ — единственная общая точка) или лежит в ней (если все точки прямой $l$ лежат в плоскости $\alpha$). Ни в одном из этих вариантов прямая не является параллельной плоскости. Следовательно, в данной ситуации не существует ни одной плоскости, параллельной прямой $l$ и проходящей через точку $M$.

Ответ: 0.

Случай, когда точка не лежит на данной прямой

Пусть дана прямая $l$ и точка $M$, причём точка $M$ не принадлежит прямой $l$ ($M \notin l$). Согласно аксиоме о параллельных прямых в пространстве, через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Проведём через точку $M$ прямую $l'$, параллельную прямой $l$ ($l' \parallel l$).

Теперь рассмотрим любую плоскость $\alpha$, которая проходит через построенную прямую $l'$.
1. Такая плоскость проходит через точку $M$, так как $M \in l'$.
2. Такая плоскость параллельна прямой $l$ согласно признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая ($l$), не лежащая в плоскости ($\alpha$), параллельна некоторой прямой ($l'$), лежащей в этой плоскости, то прямая $l$ параллельна плоскости $\alpha$. Все условия признака выполняются.

Через любую прямую в пространстве (в нашем случае — через прямую $l'$) можно провести бесконечное множество различных плоскостей. Каждая из этих плоскостей будет проходить через точку $M$ и будет параллельна данной прямой $l$.

Ответ: Бесконечно много.

20.18. Треугольники $ABC$ и $ABD$ не лежат в одной плоскости. Точка $M$ – середина отрезка $AC$, точка $N$ – середина отрезка $BC$. На отрезке $AD$ отмечена точка $K$, а на отрезке $BD$ – точка $E$ так, что $KE \parallel ABC$. Докажите, что $KE \parallel MN$.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, точка $M$ является серединой отрезка $AC$, а точка $N$ — серединой отрезка $BC$. Следовательно, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$, соединяющей середины сторон $AC$ и $BC$.

2. Согласно свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. В нашем случае, средняя линия $MN$ параллельна стороне $AB$. Таким образом, мы имеем соотношение: $MN \parallel AB$.

3. По условию задачи, на отрезках $AD$ и $BD$ отмечены точки $K$ и $E$ соответственно, так, что отрезок $KE$ параллелен прямой $AB$. То есть, дано, что $KE \parallel AB$.

4. Теперь у нас есть два утверждения: $MN \parallel AB$ и $KE \parallel AB$. В стереометрии существует теорема: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Поскольку и прямая $MN$, и прямая $KE$ параллельны одной и той же прямой $AB$, они должны быть параллельны друг другу.

Следовательно, $KE \parallel MN$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, $KE \parallel MN$.

20.19. Дано: $\alpha \cap \beta = c, A \in \alpha, B \in \beta, A \notin c, B \notin c$. Проведите через точки $A$ и $B$ плоскость, параллельную прямой $c$.

Для решения данной задачи необходимо выполнить построение и доказать, что построенная плоскость удовлетворяет всем условиям.

Построение

1. В плоскости $\alpha$, которой принадлежит точка $A$, проведём через точку $A$ прямую $a$, параллельную прямой $c$ ($a \parallel c$). Согласно аксиоме о параллельных прямых, такая прямая существует и единственна, и она целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).
2. Аналогично, в плоскости $\beta$, которой принадлежит точка $B$, проведём через точку $B$ прямую $b$, параллельную прямой $c$ ($b \parallel c$). Эта прямая также существует, единственна и целиком лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$).
3. Из того, что $a \parallel c$ и $b \parallel c$, по свойству транзитивности параллельных прямых следует, что $a \parallel b$.
4. Прямые $a$ и $b$ не совпадают. Если бы они совпадали ($a=b$), то эта прямая принадлежала бы обеим плоскостям $\alpha$ и $\beta$, а значит, была бы их линией пересечения, то есть $a=c$. Но по условию $A \notin c$, тогда как по построению $A \in a$, что является противоречием.
5. Через две различные параллельные прямые $a$ и $b$ проходит единственная плоскость. Обозначим эту плоскость $\gamma$. Эта плоскость и является искомой.

Обоснование

Докажем, что построенная плоскость $\gamma$ удовлетворяет всем условиям задачи и является единственной.

1. Плоскость $\gamma$ проходит через точки A и B. По построению, точка $A$ лежит на прямой $a$ ($A \in a$), а прямая $a$ лежит в плоскости $\gamma$ ($a \subset \gamma$). Следовательно, $A \in \gamma$. Аналогично, $B \in b$ и $b \subset \gamma$, следовательно, $B \in \gamma$.
2. Плоскость $\gamma$ параллельна прямой $c$. По признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. В нашем случае, прямая $a$ лежит в плоскости $\gamma$ ($a \subset \gamma$) и параллельна прямой $c$ ($a \parallel c$). Необходимо доказать, что прямая $c$ не лежит в плоскости $\gamma$ ($c \not\subset \gamma$). Предположим обратное: $c \subset \gamma$. Тогда в плоскости $\gamma$ лежат две параллельные прямые $a$ и $c$. Эти же две прямые лежат и в плоскости $\alpha$. Поскольку через две параллельные прямые проходит единственная плоскость, то плоскости $\alpha$ и $\gamma$ должны совпадать ($\alpha = \gamma$). Аналогично, из того, что $b \subset \gamma$, $c \subset \gamma$ и $b \parallel c$, а также $b, c \subset \beta$, следует, что $\beta = \gamma$. Тогда получается, что $\alpha = \beta$. Это противоречит условию задачи, согласно которому плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$ (а не совпадают). Следовательно, наше предположение неверно, и $c \not\subset \gamma$. Таким образом, все условия признака параллельности прямой и плоскости выполнены, и можно заключить, что $c \parallel \gamma$.
3. Единственность решения. Предположим, что существует другая плоскость $\gamma'$, которая также проходит через точки $A$ и $B$ и параллельна прямой $c$. Так как $A \in \gamma'$ и $c \parallel \gamma'$, то линия пересечения плоскости $\gamma'$ с плоскостью $\alpha$ (которая содержит точку $A$ и в которой лежит прямая $c$) должна быть прямой, проходящей через $A$ и параллельной $c$. В плоскости $\alpha$ такая прямая единственна — это построенная нами прямая $a$. Значит, $a \subset \gamma'$. Аналогично, линия пересечения $\gamma'$ с плоскостью $\beta$ — это прямая, проходящая через $B$ и параллельная $c$, то есть прямая $b$. Значит, $b \subset \gamma'$. Поскольку плоскость $\gamma'$ содержит две различные параллельные прямые $a$ и $b$, а через них проходит только одна плоскость, то $\gamma'$ должна совпадать с $\gamma$. Это доказывает единственность решения.

Ответ: Искомая плоскость — это плоскость, однозначно заданная двумя параллельными прямыми: прямой, проведённой через точку $A$ в плоскости $\alpha$ параллельно прямой $c$, и прямой, проведённой через точку $B$ в плоскости $\beta$ параллельно прямой $c$.

20.20. На рёбрах $DA$, $DB$ и $DC$ тетраэдра $DABC$ отметили соответственно точки $E$, $F$ и $M$ так, что $\angle ABE = \angle FEB$, $\angle CBM = \angle FMB$. Докажите, что плоскости $ABC$ и $EFM$ параллельны.

Для доказательства параллельности плоскостей $(ABC)$ и $(EFM)$ воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

1. Рассмотрим прямые $AB$ и $EF$. Точки $A, B, E, F$ лежат в одной плоскости грани $DAB$. Прямая $BE$ является секущей для прямых $AB$ и $EF$. Углы $\angle ABE$ и $\angle FEB$ являются внутренними накрест лежащими углами. По условию задачи дано, что $\angle ABE = \angle FEB$. Согласно признаку параллельности прямых (если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны), заключаем, что $AB \parallel EF$.

2. Аналогично рассмотрим прямые $BC$ и $FM$. Точки $B, C, F, M$ лежат в одной плоскости грани $DBC$. Прямая $BM$ является секущей для прямых $BC$ и $FM$. Углы $\angle CBM$ и $\angle FMB$ также являются внутренними накрест лежащими. По условию, $\angle CBM = \angle FMB$. Следовательно, по тому же признаку параллельности прямых, $BC \parallel FM$.

3. Мы установили, что две пересекающиеся в точке $B$ прямые $AB$ и $BC$ плоскости $(ABC)$ соответственно параллельны двум пересекающимся в точке $F$ прямым $EF$ и $FM$ плоскости $(EFM)$. Таким образом, выполнены условия признака параллельности плоскостей. Следовательно, плоскость $(ABC)$ параллельна плоскости $(EFM)$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что плоскости $ABC$ и $EFM$ параллельны.