Страница 192 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.63. Точки $A$ и $B$ принадлежат разным граням острого двугранного угла, а точки $C$ и $D$ – его ребру, причём $AC = AD$, $BC = BD$ (рис. 20.16). Прямая $m$ перпендикулярна ребру двугранного угла и пересекает грань угла, которой принадлежит точка $A$, в точке $E$. Постройте точку пересечения прямой $m$ с другой гранью данного двугранного угла.

Рис. 20.16

Для решения задачи воспользуемся тем, что линейный угол двугранного угла одинаков в любой точке ребра. Условия $AC = AD$ и $BC = BD$ позволяют нам найти этот линейный угол.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$ в грани $\alpha$. Так как $AC = AD$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $CD$. Пусть $M$ — середина отрезка $CD$. Тогда медиана $AM$ в треугольнике $\triangle ACD$ является также и его высотой, то есть $AM \perp CD$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $\triangle BCD$ в грани $\beta$. Так как $BC = BD$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $CD$. Медиана $BM$ (из той же точки $M$ — середины $CD$) в треугольнике $\triangle BCD$ является также и его высотой, то есть $BM \perp CD$.

Поскольку прямые $AM$ и $BM$ перпендикулярны ребру $CD$ в одной и той же точке $M$, угол $\angle AMB$ является линейным углом данного двугранного угла.

Теперь мы можем приступить к построению искомой точки.

Построение:

1. На ребре двугранного угла, прямой, содержащей отрезок $CD$, находим точку $M$ — середину отрезка $CD$.
2. Определяем величину линейного угла двугранного угла. Для этого можно построить (например, на плоскости в качестве вспомогательного чертежа) треугольник $\triangle AMB$ по трем сторонам. Длины сторон $AM$ и $BM$ можно найти из прямоугольных треугольников $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$ (так как $AM \perp MC$ и $BM \perp MC$): $AM = \sqrt{AC^2 - MC^2}$ и $BM = \sqrt{BC^2 - MC^2}$. Длина стороны $AB$ известна из расположения точек. Угол $\angle AMB$ в построенном треугольнике и есть искомый линейный угол.
3. В грани $\alpha$, которой принадлежит точка $A$, проведем перпендикуляр из точки $E$ к ребру (прямой $CD$). Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $P$.
4. Плоскость, проходящая через точку $P$ перпендикулярно ребру $CD$, пересекает грань $\alpha$ по прямой $PE$. Прямая $m$, по условию, лежит в этой же плоскости, так как $m \perp CD$ и $E \in m$.
5. В этой перпендикулярной плоскости строим луч $PK$, исходящий из точки $P$ и образующий с лучом $PE$ угол, равный найденному линейному углу $\angle AMB$. Луч $PK$ должен располагаться в другой полуплоскости относительно ребра $CD$, чем грань, содержащая точку $B$. Прямая $PK$ является линией пересечения грани $\beta$ с плоскостью, в которой лежит прямая $m$.
6. Искомая точка $F$ есть точка пересечения прямой $m$ и построенной прямой $PK$.

Доказательство:

По построению, точка $F$ лежит на прямой $m$. Нам нужно доказать, что точка $F$ также лежит на второй грани двугранного угла, то есть на грани $\beta$.

Прямая $m$ по условию перпендикулярна ребру $l$ (прямой $CD$) и проходит через точку $E$. Следовательно, прямая $m$ целиком лежит в плоскости $\Pi$, проходящей через точку $E$ и перпендикулярной ребру $l$. Основание перпендикуляра из $E$ на $l$, точка $P$, также лежит в этой плоскости.

Грань $\alpha$ пересекается с плоскостью $\Pi$ по прямой $PE$. Грань $\beta$ пересекается с плоскостью $\Pi$ по некоторой прямой, проходящей через точку $P$. Угол между этими прямыми пересечения по определению является линейным углом двугранного угла.

Как мы показали в начале, линейный угол этого двугранного угла равен $\angle AMB$. В шаге 5 построения мы построили прямую $PK$ в плоскости $\Pi$ так, что угол $\angle(PE, PK) = \angle AMB$. Следовательно, прямая $PK$ является линией пересечения грани $\beta$ и плоскости $\Pi$.

Поскольку точка $F$ является точкой пересечения прямой $m$ и прямой $PK$ ($F = m \cap PK$), и обе эти прямые лежат в плоскости $\Pi$, то $F$ корректно определена. Так как $F$ лежит на прямой $PK$, а прямая $PK$ лежит в грани $\beta$, то точка $F$ принадлежит грани $\beta$.

Таким образом, точка $F$ является точкой пересечения прямой $m$ с гранью $\beta$. Построение верно.

Ответ: Искомая точка пересечения прямой $m$ с другой гранью двугранного угла — это точка $F$, полученная в результате описанного выше построения.

20.64. Грани двугранного угла лежат в плоскостях $\alpha$ и $\beta$ (рис. 20.17). Прямая $m$ пересекает грань, лежащую в плоскости $\alpha$, в точке $A$, а другую грань — в точке $B$. Прямая $n$ параллельна прямой $m$ и пересекает грань, лежащую в плоскости $\alpha$, в точке $C$. Постройте точку пересечения прямой $n$ с другой гранью данного двугранного угла.

Рис. 20.16

Рис. 20.17

Для нахождения точки пересечения прямой n с плоскостью β необходимо выполнить следующие шаги, основанные на свойствах параллельных прямых и плоскостей.

Решение

1. Поскольку по условию прямая m параллельна прямой n ($m \parallel n$), через них можно провести единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $\gamma$.

2. Точка A и точка B лежат на прямой m, значит, они принадлежат плоскости $\gamma$. Точка C и искомая точка D лежат на прямой n, значит, они также принадлежат плоскости $\gamma$. Таким образом, все четыре точки A, B, C и D лежат в одной плоскости $\gamma$.

3. В плоскости $\gamma$ эти четыре точки образуют четырехугольник. Рассмотрим его. Стороны этого четырехугольника лежат на прямых m, n, AC и BD.

• Прямая AC соединяет точки A и C, обе из которых лежат в плоскости $\alpha$. Следовательно, вся прямая AC лежит в плоскости $\alpha$ ($AC \subset \alpha$).
• Искомая точка D должна лежать в плоскости $\beta$. Точка B также лежит в плоскости $\beta$. Следовательно, вся прямая BD должна лежать в плоскости $\beta$ ($BD \subset \beta$).

4. Рассмотрим вектор $\vec{AC}$. Он соединяет точку A на прямой m с точкой C на прямой n. Этот вектор "переносит" нас от одной параллельной прямой к другой в пределах плоскости $\alpha$. Чтобы найти соответствующую точку D в плоскости $\beta$, мы должны выполнить аналогичный перенос от точки B (которая лежит на прямой m и в плоскости $\beta$). Это означает, что вектор, соединяющий B и D, должен быть равен вектору $\vec{AC}$:

$\vec{BD} = \vec{AC}$

5. Векторное равенство $\vec{BD} = \vec{AC}$ является определением параллелограмма ABDC. Отсюда следует алгоритм построения.

Построение:

1. Провести прямую через точки A и C.
2. Через точку B провести прямую k, параллельную прямой AC ($k \parallel AC$).
3. Точка, в которой прямая k пересекает прямую n, и является искомой точкой D.

В результате такого построения мы получаем четырехугольник ABDC, в котором стороны AB и CD параллельны (так как лежат на параллельных прямых m и n), а стороны AC и BD параллельны по построению. Следовательно, ABDC — параллелограмм.

Ответ: Искомая точка D — это точка пересечения прямой n с прямой, проходящей через точку B параллельно прямой AC. Точка D является четвертой вершиной параллелограмма ABDC.

20.65. Прямая $c$ – линия пересечения перпендикулярных плоскостей $\alpha$ и $\beta$.
Точка $M$ удалена от плоскости $\alpha$ на 9 см, а от плоскости $\beta$ – на 12 см.
Найдите расстояние между точкой $M$ и прямой $c$.

Пусть $M$ — данная точка, $\alpha$ и $\beta$ — две перпендикулярные плоскости, а $c$ — линия их пересечения.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.По условию, расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ равно 9 см. Опустим перпендикуляр $MA$ из точки $M$ на плоскость $\alpha$. Тогда $A$ — точка в плоскости $\alpha$, $MA \perp \alpha$ и длина отрезка $MA = 9$ см.

Аналогично, расстояние от точки $M$ до плоскости $\beta$ равно 12 см. Опустим перпендикуляр $MB$ из точки $M$ на плоскость $\beta$. Тогда $B$ — точка в плоскости $\beta$, $MB \perp \beta$ и длина отрезка $MB = 12$ см.

Нам необходимо найти расстояние от точки $M$ до прямой $c$. Это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $c$. Обозначим основание этого перпендикуляра как точку $P$, которая лежит на прямой $c$. Таким образом, мы ищем длину отрезка $MP$, причём $MP \perp c$.

Рассмотрим наклонную $MP$ и ее проекцию на плоскость $\alpha$. Так как $MA \perp \alpha$, то отрезок $AP$ является проекцией наклонной $MP$ на плоскость $\alpha$. По обратной теореме о трех перпендикулярах: если наклонная ($MP$) перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости ($c$), то и ее проекция ($AP$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $AP \perp c$.

Теперь рассмотрим прямую $AP$. Она лежит в плоскости $\alpha$ и перпендикулярна линии пересечения плоскостей $c$. Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, то прямая $AP$ перпендикулярна всей плоскости $\beta$, то есть $AP \perp \beta$.

Таким образом, отрезки $AP$ и $MB$ оба перпендикулярны одной и той же плоскости $\beta$. Следовательно, они параллельны: $AP \parallel MB$.

Проведем аналогичные рассуждения для плоскости $\beta$. $BP$ является проекцией наклонной $MP$ на плоскость $\beta$. Так как $MP \perp c$, то и $BP \perp c$. Поскольку прямая $BP$ лежит в плоскости $\beta$ и перпендикулярна линии пересечения $c$, то $BP$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Так как $MA$ также перпендикулярна плоскости $\alpha$, отрезки $BP$ и $MA$ параллельны: $BP \parallel MA$.

Рассмотрим четырехугольник $APBM$. Его противолежащие стороны попарно параллельны ($AP \parallel MB$ и $BP \parallel MA$), значит, $APBM$ — параллелограмм.

Поскольку $MA \perp \alpha$, а прямая $AP$ лежит в плоскости $\alpha$, то $MA \perp AP$. Таким образом, угол $\angle MAP = 90^\circ$. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником. Следовательно, $APBM$ — прямоугольник.

В прямоугольнике противолежащие стороны равны. Отсюда следует, что $AP = MB = 12$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle MAP$. Мы знаем, что он прямоугольный ($\angle MAP = 90^\circ$), с катетами $MA=9$ см и $AP=12$ см. Искомое расстояние $MP$ является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора:

$MP^2 = MA^2 + AP^2$

$MP^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$

$MP = \sqrt{225} = 15$ см.

Ответ: 15 см.

20.66. Прямая $c$ — линия пересечения перпендикулярных плоскостей $\alpha$ и $\beta$. В плоскости $\alpha$ провели прямую $a$, а в плоскости $\beta$ — прямую $b$ так, что $a \parallel c$, $b \parallel c$. Расстояние между прямыми $a$ и $c$ на 1 см меньше расстояния между прямыми $a$ и $b$, а расстояние между прямыми $b$ и $c$ на 32 см меньше расстояния между прямыми $a$ и $b$. Найдите расстояние между прямыми $a$ и $b$.

Пусть $\rho(x, y)$ обозначает расстояние между прямыми $x$ и $y$. По условию, нам даны две перпендикулярные плоскости $\alpha$ и $\beta$, пересекающиеся по прямой $c$. В плоскости $\alpha$ проведена прямая $a$, параллельная $c$, а в плоскости $\beta$ — прямая $b$, также параллельная $c$. Из этого следует, что прямые $a$ и $b$ параллельны между собой ($a \parallel b \parallel c$).

Чтобы найти расстояние между параллельными прямыми $a$ и $b$, построим плоскость $\gamma$, перпендикулярную всем трем прямым. Пусть эта плоскость пересекает прямые $a, b$ и $c$ в точках $A, B$ и $C$ соответственно. Тогда расстояние между прямыми $a$ и $b$ равно длине отрезка $AB$, расстояние между $a$ и $c$ равно $AC$, а расстояние между $b$ и $c$ равно $BC$.

Отрезок $AC$ лежит в плоскости $\alpha$ ($A \in a \subset \alpha, C \in c \subset \alpha$). Отрезок $BC$ лежит в плоскости $\beta$ ($B \in b \subset \beta, C \in c \subset \beta$). Так как плоскость $\gamma$ перпендикулярна линии пересечения $c$, то отрезки $AC$ и $BC$ перпендикулярны прямой $c$. Угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равен углу между перпендикулярами $AC$ и $BC$, проведенными к их линии пересечения $c$. Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, угол $\angle ACB$ равен $90^\circ$.

Таким образом, мы получаем прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB$ и катетами $AC$ и $BC$. По теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$

Обозначим искомое расстояние между прямыми $a$ и $b$ через $d$. То есть, $\rho(a, b) = AB = d$. Из условия задачи имеем:

• Расстояние между прямыми $a$ и $c$: $\rho(a, c) = AC = d - 1$ см.
• Расстояние между прямыми $b$ и $c$: $\rho(b, c) = BC = d - 32$ см.

Подставим эти выражения в уравнение теоремы Пифагора: $d^2 = (d - 1)^2 + (d - 32)^2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение: $d^2 = (d^2 - 2d + 1) + (d^2 - 64d + 1024)$ $d^2 = 2d^2 - 66d + 1025$ $d^2 - 66d + 1025 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-66)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1025 = 4356 - 4100 = 256$ $\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$

Корни уравнения: $d_1 = \frac{66 + 16}{2} = \frac{82}{2} = 41$ $d_2 = \frac{66 - 16}{2} = \frac{50}{2} = 25$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию задачи. Расстояния должны быть положительными величинами.

• При $d = 41$: $\rho(a, c) = 41 - 1 = 40$ см (положительное, подходит). $\rho(b, c) = 41 - 32 = 9$ см (положительное, подходит).
• При $d = 25$: $\rho(b, c) = 25 - 32 = -7$ см. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому этот корень не является решением задачи.

Следовательно, единственное возможное значение для расстояния между прямыми $a$ и $b$ составляет 41 см.

Ответ: 41 см.

20.67. Дано: $\alpha \perp \beta, \alpha \perp \gamma, \beta \perp \gamma, \alpha \cap \beta = c, \alpha \cap \gamma = b, \beta \cap \gamma = a.$ Докажите, что $a \perp c, b \perp c, a \perp b.$

Доказательство, что $a \perp c$

По условию дано, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($\alpha \perp \gamma$) и плоскость $\beta$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($\beta \perp \gamma$).
Прямая $c$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ ($c = \alpha \cap \beta$).
Согласно теореме: если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения также перпендикулярна этой плоскости. В нашем случае плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$ и обе перпендикулярны плоскости $\gamma$. Следовательно, прямая $c$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($c \perp \gamma$).
Прямая $a$ по условию лежит в плоскости $\gamma$ (так как $a = \beta \cap \gamma$).
По определению прямой, перпендикулярной плоскости, прямая $c$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\gamma$. Следовательно, $c \perp a$, что равносильно $a \perp c$.
Ответ: Доказано.

Доказательство, что $b \perp c$

По условию дано, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($\alpha \perp \beta$) и плоскость $\gamma$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($\gamma \perp \beta$).
Прямая $b$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\gamma$ ($b = \alpha \cap \gamma$).
Применяя ту же теорему, получаем, что линия пересечения $b$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($b \perp \beta$).
Прямая $c$ по условию лежит в плоскости $\beta$ (так как $c = \alpha \cap \beta$).
Так как прямая $b$ перпендикулярна плоскости $\beta$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $c$. Следовательно, $b \perp c$.
Ответ: Доказано.

Доказательство, что $a \perp b$

По условию дано, что плоскость $\beta$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($\beta \perp \alpha$) и плоскость $\gamma$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($\gamma \perp \alpha$).
Прямая $a$ является линией пересечения плоскостей $\beta$ и $\gamma$ ($a = \beta \cap \gamma$).
По той же теореме, линия пересечения $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$).
Прямая $b$ по условию лежит в плоскости $\alpha$ (так как $b = \alpha \cap \gamma$).
Так как прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $b$. Следовательно, $a \perp b$.
Ответ: Доказано.

20.68. Докажите, что если каждая из двух плоскостей перпендикулярна третьей плоскости и линии пересечения данных плоскостей с третьей плоскостью параллельны, то эти плоскости параллельны.

Для доказательства воспользуемся методом от противного.

Дано:
Плоскость $\alpha \perp$ плоскости $\gamma$.
Плоскость $\beta \perp$ плоскости $\gamma$.
Прямая $a = \alpha \cap \gamma$.
Прямая $b = \beta \cap \gamma$.
$a \parallel b$.

Доказать:
$\alpha \parallel \beta$.

Доказательство:

Предположим, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны. Если две плоскости не параллельны, то они пересекаются по прямой. Обозначим эту прямую пересечения как $c$. Таким образом, $c = \alpha \cap \beta$.

Выберем на прямой $c$ произвольную точку $M$. Так как $M \in c$, то точка $M$ принадлежит и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$ ($M \in \alpha$ и $M \in \beta$).

Из точки $M$ проведём перпендикуляр к плоскости $\gamma$. Обозначим эту прямую-перпендикуляр как $p$. По определению, $p \perp \gamma$.

Согласно свойству перпендикулярных плоскостей, если из точки одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр ко второй плоскости, то этот перпендикуляр будет лежать в первой плоскости.

Так как $M \in \alpha$ и $\alpha \perp \gamma$, то перпендикуляр $p$, проведённый из точки $M$ к плоскости $\gamma$, лежит в плоскости $\alpha$ ($p \subset \alpha$).

Аналогично, так как $M \in \beta$ и $\beta \perp \gamma$, то тот же самый перпендикуляр $p$ лежит в плоскости $\beta$ ($p \subset \beta$).

Таким образом, прямая $p$ принадлежит обеим плоскостям $\alpha$ и $\beta$. Это означает, что прямая $p$ является линией их пересечения. Следовательно, $p = c$.

Из этого следует, что прямая пересечения $c$ плоскостей $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($c \perp \gamma$).

Прямая, перпендикулярная плоскости, пересекает эту плоскость. Пусть прямая $c$ пересекает плоскость $\gamma$ в точке $P$.

Поскольку точка $P$ лежит на прямой $c$, она принадлежит обеим плоскостям $\alpha$ и $\beta$. Также точка $P$ лежит в плоскости $\gamma$.

Так как $P \in \alpha$ и $P \in \gamma$, то точка $P$ принадлежит линии их пересечения, то есть прямой $a$. Итак, $P \in a$.

Так как $P \in \beta$ и $P \in \gamma$, то точка $P$ принадлежит линии их пересечения, то есть прямой $b$. Итак, $P \in b$.

Получается, что прямые $a$ и $b$ имеют общую точку $P$, то есть они пересекаются.

Это противоречит условию задачи, в котором сказано, что прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). Параллельные прямые не имеют общих точек.

Противоречие возникло из-за нашего первоначального предположения о том, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны. Следовательно, это предположение неверно.

Таким образом, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если каждая из двух плоскостей перпендикулярна третьей плоскости, а линии их пересечения с этой третьей плоскостью параллельны, то эти две плоскости параллельны.

20.69. Через вершину прямого угла $C$ треугольника $ABC$ проведена прямая $m$, перпендикулярная плоскости $ABC$. На прямой $m$ отметили точку $D$, такую, что угол между плоскостями $ABC$ и $ABD$ равен $30^\circ$. Найдите площадь треугольника $ABD$, если $AB = 16$ см, $\angle BAC = 45^\circ$.

По условию, треугольник $ABC$ — прямоугольный с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Также известно, что $\angle BAC = 45^\circ$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то $\angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Поскольку углы при основании $AB$ равны, треугольник $ABC$ является равнобедренным, и $AC = BC$.

Угол между плоскостями $ABC$ и $ABD$ — это двугранный угол, ребром которого является прямая $AB$. Для его измерения построим линейный угол. Проведем в плоскости $ABC$ высоту $CH$ к гипотенузе $AB$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, является также и медианой, поэтому ее длина равна половине гипотенузы: $CH = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

По условию, прямая $m$, проходящая через точку $C$, перпендикулярна плоскости $ABC$. Точка $D$ лежит на этой прямой, следовательно, отрезок $CD$ перпендикулярен плоскости $ABC$ ($CD \perp (ABC)$). Тогда $DH$ — наклонная к плоскости $ABC$, а $CH$ — ее ортогональная проекция на эту плоскость. По теореме о трех перпендикулярах, так как проекция $CH$ перпендикулярна прямой $AB$ ($CH \perp AB$), то и сама наклонная $DH$ перпендикулярна прямой $AB$ ($DH \perp AB$).

Таким образом, $DH$ является высотой в треугольнике $ABD$, а угол $\angle DHC$ — линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $ABD$. По условию, $\angle DHC = 30^\circ$.

Для нахождения площади треугольника $ABD$ ($S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DH$) необходимо найти длину высоты $DH$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DCH$ (угол $\angle DCH = 90^\circ$, так как $CD \perp (ABC)$ и $CH$ лежит в этой плоскости). В этом треугольнике известен катет $CH = 8$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle DHC = 30^\circ$. Найдем гипотенузу $DH$ из соотношения:

$\cos(\angle DHC) = \frac{CH}{DH} \implies DH = \frac{CH}{\cos(30^\circ)} = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь можем вычислить площадь треугольника $ABD$:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{16\sqrt{3}}{3} = 8 \cdot \frac{16\sqrt{3}}{3} = \frac{128\sqrt{3}}{3}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{128\sqrt{3}}{3}$ см$^2$.