Номер 67, страница 192 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 67, страница 192.

Условие.

20.67. Дано: $\alpha \perp \beta, \alpha \perp \gamma, \beta \perp \gamma, \alpha \cap \beta = c, \alpha \cap \gamma = b, \beta \cap \gamma = a.$ Докажите, что $a \perp c, b \perp c, a \perp b.$

Решение 1.

Решение 3.

Доказательство, что $a \perp c$

По условию дано, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($\alpha \perp \gamma$) и плоскость $\beta$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($\beta \perp \gamma$).
Прямая $c$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ ($c = \alpha \cap \beta$).
Согласно теореме: если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения также перпендикулярна этой плоскости. В нашем случае плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$ и обе перпендикулярны плоскости $\gamma$. Следовательно, прямая $c$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($c \perp \gamma$).
Прямая $a$ по условию лежит в плоскости $\gamma$ (так как $a = \beta \cap \gamma$).
По определению прямой, перпендикулярной плоскости, прямая $c$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\gamma$. Следовательно, $c \perp a$, что равносильно $a \perp c$.
Ответ: Доказано.

Доказательство, что $b \perp c$

По условию дано, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($\alpha \perp \beta$) и плоскость $\gamma$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($\gamma \perp \beta$).
Прямая $b$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\gamma$ ($b = \alpha \cap \gamma$).
Применяя ту же теорему, получаем, что линия пересечения $b$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($b \perp \beta$).
Прямая $c$ по условию лежит в плоскости $\beta$ (так как $c = \alpha \cap \beta$).
Так как прямая $b$ перпендикулярна плоскости $\beta$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $c$. Следовательно, $b \perp c$.
Ответ: Доказано.

Доказательство, что $a \perp b$

По условию дано, что плоскость $\beta$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($\beta \perp \alpha$) и плоскость $\gamma$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($\gamma \perp \alpha$).
Прямая $a$ является линией пересечения плоскостей $\beta$ и $\gamma$ ($a = \beta \cap \gamma$).
По той же теореме, линия пересечения $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$).
Прямая $b$ по условию лежит в плоскости $\alpha$ (так как $b = \alpha \cap \gamma$).
Так как прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $b$. Следовательно, $a \perp b$.
Ответ: Доказано.