Номер 60, страница 191 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 60, страница 191.

Условие.

20.60. Отрезок $MC$ – перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$). Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $ABM$, если $AC = 8$ см, $\angle BAC = 30^\circ$, а расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ равно 12 см.

Решение 1.

Решение 3.

Угол между плоскостями $ABC$ и $ABM$ — это двугранный угол, образованный этими плоскостями. Линией пересечения данных плоскостей является прямая $AB$. Для нахождения величины этого угла построим его линейный угол.

1. В плоскости треугольника $ABC$ опустим перпендикуляр $CH$ из точки $C$ на прямую $AB$. Таким образом, $CH \perp AB$.

2. По условию, отрезок $MC$ перпендикулярен плоскости $ABC$. Прямая $CH$ является проекцией наклонной $MH$ на плоскость $ABC$. Так как проекция $CH$ перпендикулярна прямой $AB$, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $MH$ перпендикулярна прямой $AB$ ($MH \perp AB$).

3. Поскольку $CH \perp AB$ и $MH \perp AB$, то угол $\angle MHC$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $ABM$. Нам нужно найти величину этого угла.

4. Найдем длину отрезка $CH$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) отрезок $CH$ является высотой, проведенной к гипотенузе. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ ($\angle CHA=90^\circ$). Из него, зная гипотенузу $AC=8$ см и угол $\angle BAC = 30^\circ$, находим катет $CH$:
$CH = AC \cdot \sin(\angle BAC) = 8 \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

5. Расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $AB$. Мы показали, что $MH \perp AB$, значит, длина отрезка $MH$ равна заданному расстоянию. Таким образом, $MH = 12$ см.

6. Рассмотрим треугольник $MCH$. Так как $MC$ перпендикулярен плоскости $ABC$, то он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $CH$. Следовательно, $\angle MCH = 90^\circ$, и треугольник $MCH$ является прямоугольным. В этом треугольнике мы знаем:
- катет $CH = 4$ см,
- гипотенузу $MH = 12$ см.

Найдем косинус угла $\angle MHC$ (искомого угла между плоскостями):
$\cos(\angle MHC) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CH}{MH} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Отсюда, искомый угол равен $\arccos(\frac{1}{3})$.

Ответ: $\arccos(\frac{1}{3})$.