Номер 59, страница 191 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 59, страница 191.

Условие.

Рис. 20.15

20.59. Через центр $O$ окружности проведён отрезок $AO$, перпендикулярный плоскости окружности (рис. 20.15). Прямая $BC$, лежащая в плоскости окружности, касается данной окружности в точке $C$. Найдите угол между плоскостями $ACB$ и $BOC$, если $OA = 8$ см, а радиус данной окружности — $2$ см.

Решение 1.

Решение 3.

20.59.

Пусть плоскость, в которой лежит окружность, называется $\alpha$. Плоскость $BOC$ совпадает с плоскостью $\alpha$, так как точки $B$, $O$ и $C$ лежат в плоскости окружности. Таким образом, задача состоит в нахождении угла между плоскостью $ACB$ и плоскостью $\alpha$.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями определяется величиной линейного угла соответствующего двугранного угла. Линией пересечения плоскостей $ACB$ и $BOC$ является прямая $BC$.

Для нахождения линейного угла двугранного угла необходимо в точке на ребре $BC$ восстановить перпендикуляры к нему в каждой из плоскостей.

1. В плоскости $BOC$ (то есть в плоскости $\alpha$) $OC$ является радиусом окружности, проведённым в точку касания $C$. По свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OC \perp BC$.

2. По условию, отрезок $AO$ перпендикулярен плоскости окружности $\alpha$. Таким образом, $AO$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, $AC$ — наклонная, а $OC$ — проекция наклонной $AC$ на плоскость $\alpha$. Прямая $BC$ лежит в плоскости $\alpha$ и перпендикулярна проекции $OC$ ($BC \perp OC$). По теореме о трёх перпендикулярах, если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. Следовательно, $AC \perp BC$.

Мы получили, что $OC \perp BC$ и $AC \perp BC$. Значит, угол $\angle ACO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ACB$ и $BOC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOC$. Поскольку $AO \perp \alpha$ и прямая $OC$ лежит в плоскости $\alpha$, то $AO \perp OC$. Это означает, что $\triangle AOC$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $\angle AOC$.

Из условия задачи нам известны длины катетов этого треугольника:

• $OA = 8$ см (длина перпендикуляра).
• $OC = 2$ см (радиус окружности).

Для нахождения угла $\angle ACO$ в прямоугольном треугольнике $\triangle AOC$ воспользуемся определением тангенса:

$\tan(\angle ACO) = \frac{OA}{OC}$

Подставим известные значения:

$\tan(\angle ACO) = \frac{8}{2} = 4$

Следовательно, искомый угол между плоскостями равен арктангенсу 4.

Ответ: $\arctan(4)$.