Номер 52, страница 191 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 52, страница 191.

Условие.

20.52. Отрезок $DC$ – перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$), $DC = 9$ см, $AC = 15$ см, $BC = 20$ см. Отрезок $DE$ – перпендикуляр, опущенный из точки $D$ на прямую $AB$. Найдите угол между прямой $DE$ и плоскостью $ABC$.

Решение 1.

Решение 3.

По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Поскольку отрезок $DC$ перпендикулярен плоскости $ABC$, то отрезок $CE$ является проекцией наклонной $DE$ на плоскость $ABC$ (так как $C$ — проекция точки $D$, а точка $E$ принадлежит плоскости $ABC$). Следовательно, искомый угол — это $\angle DEC$.

Так как $DC \perp (ABC)$ (перпендикуляр), а $DE$ — наклонная к плоскости $ABC$, и по условию $DE \perp AB$ (где $AB$ — прямая в плоскости $ABC$), то по теореме о трёх перпендикулярах проекция $CE$ также перпендикулярна прямой $AB$. То есть, $CE \perp AB$. Это значит, что $CE$ является высотой прямоугольного треугольника $ABC$, проведённой к гипотенузе $AB$.

Для нахождения длины высоты $CE$ сначала найдём длину гипотенузы $AB$ в треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$ см.

Теперь найдём высоту $CE$ через площадь треугольника $ABC$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, а также половине произведения гипотенузы на высоту, проведённую к ней:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CE$$AC \cdot BC = AB \cdot CE$$CE = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{15 \cdot 20}{25} = \frac{300}{25} = 12$ см.

Рассмотрим треугольник $DCE$. Так как $DC \perp (ABC)$, то $DC$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $CE$. Таким образом, треугольник $DCE$ — прямоугольный, с прямым углом $\angle DCE$.

В прямоугольном треугольнике $DCE$ мы знаем длины катетов: $DC = 9$ см (по условию) и $CE = 12$ см. Мы можем найти тангенс искомого угла $\angle DEC$:$\tan(\angle DEC) = \frac{DC}{CE} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.

Отсюда, искомый угол равен $\arctan(\frac{3}{4})$.

Ответ: $\arctan(\frac{3}{4})$.