Номер 45, страница 190 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 45, страница 190.

Условие.

20.45. Докажите, что если отрезок пересекает плоскость, то расстояние от середины данного отрезка до данной плоскости равно полуразности расстояний от концов отрезка до этой плоскости.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана плоскость $\alpha$ и отрезок $AB$, который пересекает эту плоскость. Обозначим концы отрезка как $A$ и $B$, а его середину как $M$.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Опустим перпендикуляры из точек $A$, $B$ и $M$ на плоскость $\alpha$. Пусть основаниями этих перпендикуляров являются точки $A_1$, $B_1$ и $M_1$ соответственно.

Тогда расстояния от концов отрезка и его середины до плоскости $\alpha$ равны:
$d_A = AA_1$
$d_B = BB_1$
$d_M = MM_1$

Нужно доказать, что $d_M = \frac{|d_A - d_B|}{2}$.

Доказательство:

Прямые $AA_1$, $BB_1$ и $MM_1$ параллельны друг другу, так как все они перпендикулярны плоскости $\alpha$. Через две параллельные прямые ($AA_1$ и $BB_1$) можно провести единственную плоскость $\beta$. Так как точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\beta$, то и весь отрезок $AB$, включая его середину $M$, лежит в этой плоскости. Прямая $MM_1$, будучи параллельной $AA_1$, также лежит в плоскости $\beta$.

Таким образом, все точки $A, B, M, A_1, B_1, M_1$ лежат в одной плоскости $\beta$, которая перпендикулярна исходной плоскости $\alpha$.

В плоскости $\beta$ фигура $A A_1 B_1 B$ является трапецией, у которой основания $AA_1$ и $BB_1$ параллельны, а боковыми сторонами являются отрезки $AB$ и $A_1B_1$.

Поскольку отрезок $AB$ пересекает плоскость $\alpha$, точки $A$ и $B$ находятся по разные стороны от этой плоскости. Это означает, что основания трапеции $AA_1$ и $BB_1$ направлены в противоположные стороны от прямой $A_1B_1$.

Проведем через точку $B$ прямую, параллельную $A_1B_1$, до пересечения с продолжением отрезка $AA_1$ в точке $L$. Фигура $L A_1 B_1 B$ — прямоугольник, поэтому $LA_1 = BB_1$ и $LB$ параллельна $A_1B_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ALB$. Длина катета $AL$ равна сумме длин отрезков $AA_1$ и $A_1L$: $AL = AA_1 + A_1L = AA_1 + BB_1 = d_A + d_B$.

Проведем через точку $M$ прямую, параллельную $A_1B_1$, до пересечения с $AL$ в точке $K$. Тогда $MK$ будет параллельна $LB$. Так как $M$ — середина гипотенузы $AB$, то по теореме Фалеса $MK$ является средней линией треугольника $\triangle ALB$.

Длина средней линии равна половине длины стороны, которой она параллельна:
$MK = \frac{1}{2} AL = \frac{d_A + d_B}{2}$

Прямая $MM_1$ является частью прямой $MK$. Фигура $K M_1 B_1 B$ также является прямоугольником, поэтому $M_1K = B_1B = d_B$.

Теперь найдем искомое расстояние $d_M = MM_1$. Предположим, что $d_A \ge d_B$. Тогда точка $M_1$ лежит между точками $K$ и $A_1$. Расстояние $MM_1$ можно найти как разность длин отрезков $MK$ и $M_1K$:
$d_M = MM_1 = MK - M_1K = \frac{d_A + d_B}{2} - d_B = \frac{d_A + d_B - 2d_B}{2} = \frac{d_A - d_B}{2}$

Если предположить, что $d_B > d_A$, то рассуждения будут аналогичными, и мы получим $d_M = \frac{d_B - d_A}{2}$.

Объединяя оба случая, мы можем записать результат с использованием модуля:
$d_M = \frac{|d_A - d_B|}{2}$

Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано. Расстояние от середины отрезка, пересекающего плоскость, до этой плоскости равно полуразности расстояний от его концов до той же плоскости.