Номер 41, страница 189 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 41, страница 189.

Условие.

20.41. При симметрии относительно плоскости $\alpha$ образом плоскости $\beta$ является плоскость $\beta_1$. Докажите, что если $\beta \parallel \alpha$, то $\beta_1 \parallel \alpha$.

Решение 1.

Решение 3.

Для доказательства воспользуемся методом от противного.

Дано:

1. $S_α$ – симметрия относительно плоскости $α$.

2. $S_α(β) = β_1$ (плоскость $β_1$ является образом плоскости $β$).

3. $β \parallel α$ (плоскость $β$ параллельна плоскости $α$).

Доказать:

$β_1 \parallel α$.

Доказательство:

Предположим, что утверждение неверно, то есть плоскость $β_1$ не параллельна плоскости $α$. Если две плоскости не параллельны, то они пересекаются по прямой. Обозначим прямую пересечения плоскостей $β_1$ и $α$ как $l$.

$β_1 \cap α = l$

Возьмем любую точку $M_1$ на прямой $l$. Так как $M_1 \in l$, то точка $M_1$ принадлежит одновременно и плоскости $β_1$, и плоскости $α$.

По определению симметрии относительно плоскости, любая точка, лежащая на плоскости симметрии, отображается сама на себя. Поскольку $M_1 \in α$, при симметрии относительно $α$ точка $M_1$ переходит сама в себя.

С другой стороны, точка $M_1$ принадлежит плоскости $β_1$. Так как $β_1$ является образом плоскости $β$ при симметрии относительно $α$, то для точки $M_1$ существует прообраз – точка $M$, принадлежащая плоскости $β$, такая что $S_α(M) = M_1$.

Поскольку $S_α(M_1) = M_1$ и $S_α(M) = M_1$, это означает, что точки $M$ и $M_1$ совпадают: $M \equiv M_1$.

Таким образом, точка $M_1$ (которая, как мы установили, лежит в плоскости $α$) также принадлежит и плоскости $β$. Это означает, что плоскости $α$ и $β$ имеют общую точку $M_1$.

Если две различные плоскости имеют общую точку, они пересекаются по прямой. Следовательно, плоскости $α$ и $β$ должны пересекаться. Но это противоречит исходному условию, согласно которому $β \parallel α$.

Наше первоначальное предположение о том, что $β_1$ не параллельна $α$, привело к противоречию. Следовательно, это предположение неверно, и плоскость $β_1$ должна быть параллельна плоскости $α$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если плоскость $β$ параллельна плоскости симметрии $α$, то ее образ $β_1$ также параллелен плоскости $α$.