Номер 37, страница 189 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 37, страница 189.

Условие.

20.37. Через центр $O$ квадрата $ABCD$ проведена прямая $MO$, перпендикулярная плоскости квадрата. Точка $K$ – середина отрезка $CD$, $MC = 6 \text{ см}$, $\angle MCK = 60^\circ$.

1) Докажите, что прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $MOK$.

2) Найдите отрезок $MO$.

Решение 1.

Решение 3.

1) Докажите, что прямая CD перпендикулярна плоскости MOK.

Чтобы доказать перпендикулярность прямой CD и плоскости MOK, необходимо показать, что прямая CD перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве этих прямых возьмем OK и MO.

Во-первых, рассмотрим прямые CD и OK в плоскости квадрата ABCD. Так как ABCD — квадрат, а O — его центр, то треугольник OCD является равнобедренным ($OC = OD$ как половины равных диагоналей). Отрезок OK соединяет вершину O с серединой основания CD (по условию K — середина CD), следовательно, OK является медианой треугольника OCD. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Таким образом, $OK \perp CD$.

Во-вторых, по условию задачи прямая MO перпендикулярна плоскости квадрата ABCD. Прямая CD лежит в плоскости ABCD. По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $MO \perp CD$.

Так как прямая CD перпендикулярна двум пересекающимся прямым OK и MO в плоскости MOK, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая CD перпендикулярна плоскости MOK.

Ответ: Доказано.

2) Найдите отрезок MO.

Из доказанного в пункте 1 следует, что $CD \perp (MOK)$. Поскольку прямая MK лежит в плоскости MOK, то $CD \perp MK$. Это значит, что угол между прямыми CD и MK равен 90°, то есть $\angle MKC = 90^{\circ}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MCK. В нем известны гипотенуза $MC = 6$ см и острый угол $\angle MCK = 60^{\circ}$. Найдем длины катетов KC и MK, используя тригонометрические функции:
$KC = MC \cdot \cos(60^{\circ}) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.
$MK = MC \cdot \sin(60^{\circ}) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Поскольку K — середина стороны CD, то длина стороны квадрата ABCD равна $CD = 2 \cdot KC = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Отрезок OK соединяет центр квадрата O с серединой стороны CD. Его длина равна половине стороны квадрата: $OK = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

По условию $MO \perp (ABCD)$, а прямая OK лежит в этой плоскости, значит $MO \perp OK$. Следовательно, треугольник MOK — прямоугольный с прямым углом при вершине O.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику MOK, в котором MK — гипотенуза, а MO и OK — катеты:
$MO^2 + OK^2 = MK^2$
$MO^2 = MK^2 - OK^2$
$MO^2 = (3\sqrt{3})^2 - 3^2 = 27 - 9 = 18$
$MO = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ см.

Ответ: $3\sqrt{2}$ см.