Номер 39, страница 189 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 39, страница 189.

Условие.

20.39. Отрезок $AB$ не пересекает плоскость $\alpha$, а прямая $AB$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $C$. Через точки $A$ и $B$ проведены прямые, перпендикулярные плоскости $\alpha$ и пересекающие её в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно. Найдите отрезок $B_1C$, если $AA_1 = 16$ см, $BB_1 = 6$ см, $A_1B_1 = 4$ см.

Решение 1.

Решение 3.

По условию задачи, через точки $A$ и $B$ проведены прямые, перпендикулярные плоскости $\alpha$. Обозначим их $AA_1$ и $BB_1$. Так как две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны между собой, то $AA_1 \parallel BB_1$.

Параллельные прямые $AA_1$ и $BB_1$ определяют единственную плоскость $\beta$. Точки $A, B, A_1, B_1$ лежат в этой плоскости. Поскольку прямая $AB$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $C$, то точки $A, B, C$ лежат на одной прямой. Это означает, что точка $C$ также лежит в плоскости $\beta$.

Точки $A_1, B_1$ и $C$ лежат как в плоскости $\alpha$ (по условию), так и в плоскости $\beta$. Следовательно, они лежат на прямой пересечения этих двух плоскостей, то есть точки $A_1, B_1, C$ коллинеарны.

Рассмотрим треугольники $\triangle CAA_1$ и $\triangle CBB_1$, которые лежат в плоскости $\beta$.

• $\angle A_1CA = \angle B_1CB$ (как общий угол).
• Поскольку $AA_1 \perp \alpha$ и прямая $CA_1$ лежит в плоскости $\alpha$, то $\angle CA_1A = 90^\circ$.
• Аналогично, так как $BB_1 \perp \alpha$ и прямая $CB_1$ лежит в плоскости $\alpha$, то $\angle CB_1B = 90^\circ$.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle CAA_1$ и $\triangle CBB_1$ подобны по острому углу.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их катетов:

$\frac{AA_1}{BB_1} = \frac{CA_1}{CB_1}$

Подставим известные значения $AA_1 = 16$ см и $BB_1 = 6$ см:

$\frac{16}{6} = \frac{CA_1}{CB_1}$

$\frac{CA_1}{CB_1} = \frac{8}{3}$

По условию, отрезок $AB$ не пересекает плоскость $\alpha$, значит, точки $A$ и $B$ находятся по одну сторону от плоскости. Так как $AA_1 = 16$ см, а $BB_1 = 6$ см, точка $A$ находится дальше от плоскости $\alpha$, чем точка $B$. Прямая $AB$ пересекает плоскость в точке $C$, поэтому точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$. Порядок точек на прямой следующий: $A-B-C$.

Поскольку точки $A_1, B_1, C$ являются проекциями точек $A, B, C$ на прямую пересечения плоскостей (с учётом того, что $C$ уже лежит на этой прямой), их порядок сохраняется: $A_1-B_1-C$. Следовательно, длина отрезка $CA_1$ равна сумме длин отрезков $A_1B_1$ и $B_1C$.

$CA_1 = A_1B_1 + B_1C$

Пусть искомая длина отрезка $B_1C = x$. По условию $A_1B_1 = 4$ см, тогда $CA_1 = 4 + x$.

Подставим эти выражения в полученную ранее пропорцию:

$\frac{4 + x}{x} = \frac{8}{3}$

Воспользуемся свойством пропорции:

$3 \cdot (4 + x) = 8 \cdot x$

$12 + 3x = 8x$

$8x - 3x = 12$

$5x = 12$

$x = \frac{12}{5} = 2,4$

Таким образом, длина отрезка $B_1C$ составляет 2,4 см.

Ответ: 2,4 см.