Номер 42, страница 189 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 42, страница 189.

Условие.

20.42. Из точки $M$ проведены к плоскости $\alpha$ перпендикуляр $MH$ и равные наклонные $MA$ и $MB$ (рис. 20.13). Найдите расстояние между основаниями наклонных, если $\angle MAH = 30^\circ$, $\angle AMB = 60^\circ$, $MH = 5$ см.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку $MH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то $MH$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $H$. Следовательно, треугольник $MHA$ является прямоугольным с прямым углом $\angle MHA = 90^\circ$. В этом треугольнике известны длина катета $MH = 5$ см и величина противолежащего ему угла $\angle MAH = 30^\circ$. Мы можем найти длину гипотенузы $MA$, которая является одной из наклонных.
Из определения синуса в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\angle MAH) = \frac{MH}{MA}$
Выразим отсюда длину наклонной $MA$:
$MA = \frac{MH}{\sin(\angle MAH)} = \frac{5}{\sin(30^\circ)} = \frac{5}{1/2} = 10$ см.
По условию задачи наклонные $MA$ и $MB$ равны, следовательно, $MA = MB = 10$ см.
Теперь рассмотрим треугольник $AMB$. Мы знаем длины двух его сторон ($MA = 10$ см и $MB = 10$ см) и угол между ними ($\angle AMB = 60^\circ$).
Так как у треугольника $AMB$ две стороны равны ($MA=MB$), он является равнобедренным. Углы при основании $AB$ в равнобедренном треугольнике равны. Сумма углов треугольника составляет $180^\circ$, поэтому:
$\angle MAB = \angle MBA = \frac{180^\circ - \angle AMB}{2} = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.
Поскольку все три угла треугольника $AMB$ равны $60^\circ$, этот треугольник является равносторонним.
В равностороннем треугольнике все стороны равны. Следовательно, искомое расстояние между основаниями наклонных, то есть длина стороны $AB$, равно длинам двух других сторон:
$AB = MA = MB = 10$ см.
Ответ: 10 см.