Номер 40, страница 189 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 40, страница 189.

Условие.

20.40. Отрезок $AB$ пересекает плоскость $\alpha$. Через точки $A$ и $B$ и середину $C$ отрезка $AB$ проведены прямые, перпендикулярные плоскости $\alpha$ и пересекающие её в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Найдите отрезок $CC_1$, если $AA_1 = 18$ см, $BB_1 = 9$ см.

Решение 1.

Решение 3.

По условию задачи, через точки A, B и C проведены прямые, перпендикулярные плоскости $\alpha$. Из этого следует, что эти три прямые параллельны друг другу: $AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1$.

Так как прямые $AA_1$ и $BB_1$ параллельны, они определяют единственную плоскость $\beta$. Точки A и B лежат в этой плоскости, следовательно, вся прямая AB, включая ее середину C, также лежит в плоскости $\beta$. Прямая $CC_1$ проходит через точку C и параллельна $AA_1$, поэтому она тоже лежит в плоскости $\beta$. Таким образом, все точки A, B, C, $A_1$, $B_1$, $C_1$ лежат в одной плоскости.

В этой плоскости фигура $A_1B_1BA$ является трапецией, основаниями которой служат параллельные отрезки $AA_1$ и $BB_1$, а боковыми сторонами — отрезки $A_1B_1$ и $AB$.

Ключевым моментом в условии является то, что отрезок $AB$ пересекает плоскость $\alpha$. Это означает, что точки A и B находятся по разные стороны от плоскости $\alpha$, а значит, и по разные стороны от прямой $A_1B_1$, которая лежит в этой плоскости.

Точка C является серединой боковой стороны $AB$. Отрезок $CC_1$ параллелен основаниям $AA_1$ и $BB_1$. Для трапеции, у которой основания лежат по разные стороны от прямой, соединяющей их концы (в нашем случае, от прямой $A_1B_1$), длина отрезка, соединяющего середину боковой стороны с другой боковой стороной параллельно основаниям, равна полуразности длин оснований.

Длины оснований трапеции нам даны: $AA_1 = 18$ см и $BB_1 = 9$ см.

Вычислим длину отрезка $CC_1$ по формуле:$$ CC_1 = \frac{|AA_1 - BB_1|}{2} $$Подставляя известные значения, получаем:$$ CC_1 = \frac{|18 - 9|}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ см} $$

Ответ: 4,5 см.