Номер 33, страница 189 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 33, страница 189.

Условие.

20.33. Грань $ABCD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадратом, а ребро $AA_1$ вдвое больше ребра $AB$. Найдите угол между прямыми:

1) $AB_1$ и $CD$;

2) $AB_1$ и $CD_1$;

3) $AB_1$ и $A_1C_1$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. По условию, грань $ABCD$ является квадратом. Обозначим длину ребра этого квадрата через $a$. Тогда $AB = BC = CD = DA = a$. Также по условию, ребро $AA_1$ вдвое больше ребра $AB$, следовательно, $AA_1 = 2a$. Так как это прямоугольный параллелепипед, все его боковые ребра равны и перпендикулярны основаниям, поэтому $AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1 = 2a$.

1) Найдем угол между прямыми $AB_1$ и $CD$.

Прямые $AB_1$ и $CD$ являются скрещивающимися. Поскольку в параллелепипеде ребро $CD$ параллельно ребру $AB$, угол между прямыми $AB_1$ и $CD$ равен углу между прямыми $AB_1$ и $AB$. Эти прямые пересекаются в точке $A$ и лежат в одной плоскости — плоскости грани $ABB_1A_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle B_1AB$. Так как $BB_1$ — боковое ребро, а $AB$ — ребро основания, то $BB_1 \perp AB$. Следовательно, треугольник $\triangle B_1AB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. Искомый угол — это $\angle B_1AB$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle B_1AB$ катеты равны $AB = a$ и $BB_1 = 2a$. Найдем тангенс угла $\angle B_1AB$:$ \tan(\angle B_1AB) = \frac{BB_1}{AB} = \frac{2a}{a} = 2 $Таким образом, искомый угол равен $\arctan(2)$.

Ответ: $\arctan(2)$.

2) Найдем угол между прямыми $AB_1$ и $CD_1$.

Прямые $AB_1$ и $CD_1$ являются скрещивающимися. Для нахождения угла между ними воспользуемся методом координат. Введем систему координат с началом в точке $A(0, 0, 0)$, осью $Ox$ вдоль $AB$, осью $Oy$ вдоль $AD$ и осью $Oz$ вдоль $AA_1$. Координаты нужных нам точек:$A(0, 0, 0)$, $B_1(a, 0, 2a)$, $C(a, a, 0)$, $D_1(0, a, 2a)$.

Найдем направляющие векторы для данных прямых:$\vec{v_1} = \vec{AB_1} = (a-0, 0-0, 2a-0) = (a, 0, 2a)$.$\vec{v_2} = \vec{CD_1} = (0-a, a-a, 2a-0) = (-a, 0, 2a)$.

Косинус угла $\phi$ между прямыми находится по формуле:$ \cos\phi = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|} $

Вычислим скалярное произведение векторов:$ \vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = a \cdot (-a) + 0 \cdot 0 + 2a \cdot 2a = -a^2 + 4a^2 = 3a^2 $.

Вычислим длины векторов:$ |\vec{v_1}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = a\sqrt{5} $.$ |\vec{v_2}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = a\sqrt{5} $.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:$ \cos\phi = \frac{|3a^2|}{(a\sqrt{5})(a\sqrt{5})} = \frac{3a^2}{5a^2} = \frac{3}{5} $.

Искомый угол равен $\arccos\left(\frac{3}{5}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{3}{5}\right)$.

3) Найдем угол между прямыми $AB_1$ и $A_1C_1$.

Прямые $AB_1$ и $A_1C_1$ являются скрещивающимися. Прямая $A_1C_1$ является диагональю верхней грани $A_1B_1C_1D_1$, а прямая $AC$ — диагональю нижней грани $ABCD$. Так как плоскости оснований параллельны, прямая $A_1C_1$ параллельна прямой $AC$.Следовательно, угол между прямыми $AB_1$ и $A_1C_1$ равен углу между прямыми $AB_1$ и $AC$.

Эти прямые пересекаются в точке $A$. Рассмотрим треугольник $\triangle B_1AC$, искомый угол — это $\angle B_1AC$. Найдем длины его сторон:

• $AC$ — диагональ квадрата $ABCD$ со стороной $a$. $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
• $AB_1$ — диагональ прямоугольника $ABB_1A_1$ со сторонами $a$ и $2a$. $AB_1 = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = a\sqrt{5}$.
• $B_1C$ — диагональ, которую найдем из прямоугольного треугольника $\triangle B_1BC$ (где $\angle B_1BC = 90^\circ$). $B_1C = \sqrt{BB_1^2 + BC^2} = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = a\sqrt{5}$.

Треугольник $\triangle B_1AC$ является равнобедренным, так как $AB_1 = B_1C = a\sqrt{5}$. Найдем искомый угол $\angle B_1AC$ с помощью теоремы косинусов:$ B_1C^2 = AB_1^2 + AC^2 - 2(AB_1)(AC)\cos(\angle B_1AC) $$ (a\sqrt{5})^2 = (a\sqrt{5})^2 + (a\sqrt{2})^2 - 2(a\sqrt{5})(a\sqrt{2})\cos(\angle B_1AC) $$ 5a^2 = 5a^2 + 2a^2 - 2a^2\sqrt{10}\cos(\angle B_1AC) $$ 0 = 2a^2 - 2a^2\sqrt{10}\cos(\angle B_1AC) $$ 2a^2\sqrt{10}\cos(\angle B_1AC) = 2a^2 $$ \cos(\angle B_1AC) = \frac{2a^2}{2a^2\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} $

Искомый угол равен $\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$.