Номер 30, страница 188 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 30, страница 188.

Условие.

20.30. Точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ являются соответственно изображениями вершин $A$, $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ (рис. 20.11). Постройте изображение параллелограмма $ABCD$.

Рис. 20.10

Рис. 20.11

Решение 1.

Решение 3.

Построение изображения параллелограмма $ABCD$ основывается на свойстве его диагоналей, которое сохраняется при параллельном проектировании. Основное свойство параллелограмма заключается в том, что его диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. При параллельном проектировании середина отрезка проецируется в середину проекции этого отрезка. Таким образом, для построения изображения четвертой вершины $D_1$ параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$ можно использовать точку пересечения его диагоналей.

Алгоритм построения:

1. Соединим данные точки $A_1$ и $C_1$ отрезком. Этот отрезок является изображением диагонали $AC$ исходного параллелограмма.
2. Найдем середину отрезка $A_1C_1$. Обозначим эту точку $O_1$. Точка $O_1$ является изображением точки пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.
3. Проведем прямую через точки $B_1$ и $O_1$. Эта прямая содержит изображение диагонали $BD$.
4. Вершина $D_1$ должна лежать на этой прямой, причем точка $O_1$ должна быть серединой отрезка $B_1D_1$. Для нахождения $D_1$ отложим на луче $B_1O_1$ от точки $O_1$ отрезок $O_1D_1$, равный по длине отрезку $B_1O_1$.
5. Соединим последовательно точки $A_1, B_1, C_1$ и $D_1$. Полученный четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ и есть искомое изображение параллелограмма $ABCD$.

Другой способ построения основан на свойстве параллельности противоположных сторон. В параллелограмме $ABCD$ сторона $AD$ параллельна стороне $BC$, и сторона $AB$ параллельна стороне $DC$. Так как параллельность прямых сохраняется при параллельном проектировании, то и в изображении $A_1B_1C_1D_1$ должны выполняться соотношения: $A_1D_1 \parallel B_1C_1$ и $A_1B_1 \parallel D_1C_1$. Для построения точки $D_1$ достаточно провести через точку $A_1$ прямую, параллельную $B_1C_1$, и через точку $C_1$ прямую, параллельную $A_1B_1$. Точка пересечения этих прямых и будет искомой вершиной $D_1$. Этот метод эквивалентен использованию векторов: $\vec{A_1D_1} = \vec{B_1C_1}$.

Ответ:

Чтобы построить изображение параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$, необходимо найти положение четвертой вершины $D_1$. Для этого нужно: 1. Соединить точки $A_1$ и $C_1$ и найти середину этого отрезка — точку $O_1$. 2. Провести луч из точки $B_1$ через $O_1$. 3. На этом луче отложить отрезок $O_1D_1$, равный отрезку $B_1O_1$. 4. Соединить точки $A_1, B_1, C_1, D_1$, чтобы получить искомый параллелограмм.