Номер 32, страница 189 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 32, страница 189.

Условие.

20.32. Прямая $m$ параллельна стороне $AC$ треугольника $ABC$ и не лежит в плоскости $ABC$, $\angle ABC = \angle BAC = 30^{\circ}$.

1) Докажите, что прямые $m$ и $BC$ скрещивающиеся.

2) Найдите угол между прямыми $m$ и $BC$.

Решение 1.

Решение 3.

1) Докажите, что прямые m и BC скрещивающиеся.
По определению, скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости, не пересекаются и не параллельны.
Рассмотрим плоскость треугольника $ABC$. Прямая $AC$ лежит в этой плоскости ($AC \subset (ABC)$). По условию, прямая $m$ параллельна прямой $AC$ ($m \parallel AC$).
По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.
Так как $m \parallel AC$, $AC \subset (ABC)$ и по условию $m$ не лежит в плоскости $ABC$ ($m \not\subset (ABC)$), то прямая $m$ параллельна плоскости $ABC$ ($m \parallel (ABC)$).
Прямая $BC$ лежит в плоскости $ABC$ ($BC \subset (ABC)$).
Если прямая $m$ параллельна плоскости $(ABC)$, то она не имеет с ней общих точек. Следовательно, прямая $m$ не может пересекать ни одну прямую, лежащую в этой плоскости, в том числе и прямую $BC$. Значит, $m$ и $BC$ не пересекаются.
Теперь докажем, что прямые $m$ и $BC$ не параллельны. Предположим обратное: $m \parallel BC$. По условию нам дано, что $m \parallel AC$. Если бы $m \parallel BC$ и $m \parallel AC$, то по свойству транзитивности параллельных прямых следовало бы, что $AC \parallel BC$. Но прямые $AC$ и $BC$ являются сторонами треугольника $ABC$ и пересекаются в точке $C$, а значит, не могут быть параллельными. Получили противоречие.
Следовательно, прямые $m$ и $BC$ не параллельны.
Таким образом, прямые $m$ и $BC$ не пересекаются и не параллельны, а значит, они являются скрещивающимися, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Найдите угол между прямыми m и BC.
Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.
По условию прямая $m$ параллельна стороне $AC$ треугольника $ABC$ ($m \parallel AC$).
Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми $m$ и $BC$ равен углу между пересекающимися прямыми $AC$ и $BC$.
Прямые $AC$ и $BC$ являются сторонами треугольника $ABC$ и пересекаются в вершине $C$, образуя угол $\angle ACB$.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle ACB$ из треугольника $ABC$:
$\angle ACB = 180^\circ - (\angle ABC + \angle BAC)$
По условию $\angle ABC = \angle BAC = 30^\circ$.
$\angle ACB = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Углом между двумя прямыми по определению считается острый угол (или прямой), который они образуют. Если при пересечении прямых образуются углы $120^\circ$ и $60^\circ$ ($180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$), то углом между прямыми $AC$ и $BC$ является меньший из них, то есть $60^\circ$.
Таким образом, угол между прямыми $m$ и $BC$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.