Номер 29, страница 188 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 29, страница 188.

Условие.

20.29. Верно ли утверждение:

1) если параллельные проекции двух прямых на плоскость параллельны, то данные прямые параллельны;

2) если плоская фигура равна своей параллельной проекции, то плоскость, в которой лежит данная фигура, и плоскость, в которой лежит её проекция, параллельны?

Решение 1.

Решение 3.

1) если параллельные проекции двух прямых на плоскость параллельны, то данные прямые параллельны;

Утверждение неверно. Две прямые в пространстве могут быть не параллельны (например, скрещивающимися), но их параллельные проекции на некоторую плоскость могут быть параллельными.

Рассмотрим контрпример. Пусть параллельное проектирование осуществляется на плоскость $Oxy$ ($z=0$) параллельно оси $Oz$. Направление проектирования задается вектором $\vec{d}=(0, 0, 1)$.

Возьмем две прямые в пространстве:

• Прямая $a$, совпадающая с осью $Ox$. Ее направляющий вектор $\vec{v}_a=(1, 0, 0)$.
• Прямая $b$, проходящая через точку $(0, 1, 0)$ и параллельная вектору $\vec{v}_b=(1, 0, 1)$. Ее параметрическое уравнение: $x=s, y=1, z=s$.

Прямые $a$ и $b$ не параллельны, так как их направляющие векторы $\vec{v}_a=(1, 0, 0)$ и $\vec{v}_b=(1, 0, 1)$ не коллинеарны. Они также не пересекаются (у прямой $a$ координата $y$ всегда равна 0, а у прямой $b$ — 1). Следовательно, прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися.

Теперь найдем их проекции на плоскость $Oxy$:

• Проекция прямой $a$ (которая уже лежит в плоскости $Oxy$) на эту же плоскость есть сама прямая $a$. Обозначим проекцию $a'$. Ее уравнение: $y=0, z=0$ (ось $Ox$).
• Для нахождения проекции прямой $b$, спроецируем любую ее точку $(s, 1, s)$. При проектировании параллельно оси $Oz$ на плоскость $z=0$ координата $z$ обнуляется, а остальные остаются без изменений. Таким образом, проекцией точки $(s, 1, s)$ будет точка $(s, 1, 0)$. Множество таких точек образует прямую $b'$. Ее уравнение: $y=1, z=0$.

Проекции $a'$ (ось $Ox$) и $b'$ (прямая $y=1$ в плоскости $Oxy$) параллельны друг другу.

Таким образом, мы имеем две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$, чьи параллельные проекции $a'$ и $b'$ параллельны.

Ответ: нет, утверждение неверно.

2) если плоская фигура равна своей параллельной проекции, то плоскость, в которой лежит данная фигура, и плоскость, в которой лежит её проекция, параллельны?

Утверждение неверно. Равенство (конгруэнтность) фигуры и ее проекции означает, что параллельное проектирование в данном случае является изометрическим преобразованием (движением). Можно подобрать такое направление проектирования, что для двух непараллельных плоскостей проектирование одной на другую будет изометрией.

Рассмотрим контрпример.

Пусть плоскость проекции $\pi$ — это плоскость $Oxy$ ($z=0$).

Пусть плоскость $\alpha$, в которой лежит фигура, задана уравнением $z=y$. Эта плоскость не параллельна плоскости $\pi$, они пересекаются по оси $Ox$.

Рассмотрим в плоскости $\alpha$ треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$ и $C=(0,1,1)$. Найдем длины его сторон:

• $|AB| = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1} = 1$
• $|AC| = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2}$
• $|BC| = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$

Выберем направление проектирования, заданное вектором $\vec{d}=(0, 1+\sqrt{2}, 1)$. Спроецируем треугольник $ABC$ на плоскость $\pi$ ($z=0$) параллельно этому вектору.

Проекцией точки $P(x_0, y_0, z_0)$ будет точка $P'(x', y', 0)$ такая, что вектор $\vec{PP'}$ коллинеарен вектору $\vec{d}$. $\vec{PP'} = (x'-x_0, y'-y_0, -z_0) = \lambda \vec{d} = \lambda(0, 1+\sqrt{2}, 1)$. Из равенства координат получаем: $x'-x_0 = 0 \implies x' = x_0$. $-z_0 = \lambda \cdot 1 \implies \lambda = -z_0$. $y'-y_0 = \lambda(1+\sqrt{2}) \implies y' = y_0 - z_0(1+\sqrt{2})$.

Найдем проекции $A'$, $B'$, $C'$ вершин треугольника:

• $A=(0,0,0) \implies A'=(0, 0-0, 0) = (0,0,0)$
• $B=(1,0,0) \implies B'=(1, 0-0, 0) = (1,0,0)$
• $C=(0,1,1) \implies C'=(0, 1-1(1+\sqrt{2}), 0) = (0, -\sqrt{2}, 0)$

Теперь найдем длины сторон проекции — треугольника $A'B'C'$:

• $|A'B'| = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1} = 1$
• $|A'C'| = \sqrt{(0-0)^2 + (-\sqrt{2}-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{0+2+0} = \sqrt{2}$
• $|B'C'| = \sqrt{(1-0)^2 + (0-(-\sqrt{2}))^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1+2+0} = \sqrt{3}$

Длины соответствующих сторон треугольников $ABC$ и $A'B'C'$ равны, следовательно, треугольники равны по трем сторонам. Таким образом, фигура (треугольник $ABC$) равна своей параллельной проекции. Однако плоскость фигуры $\alpha$ ($z=y$) не параллельна плоскости проекции $\pi$ ($z=0$).

Ответ: нет, утверждение неверно.