Номер 35, страница 189 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 35, страница 189.

Условие.

20.35. Могут ли быть перпендикулярны одной плоскости две стороны:
1) треугольника;
2) параллелограмма;
3) правильного шестиугольника?

Решение 1.

Решение 3.

Для решения этой задачи воспользуемся основной теоремой стереометрии: если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны между собой. Формально: пусть даны прямые $a$ и $b$ и плоскость $\alpha$. Если $a \perp \alpha$ и $b \perp \alpha$, то $a \parallel b$. Таким образом, вопрос сводится к тому, могут ли две стороны рассматриваемой фигуры быть параллельными.

1) треугольника
Любые две стороны треугольника имеют общую вершину, то есть пересекаются. Параллельные прямые по определению не пересекаются (в евклидовой геометрии). Следовательно, никакие две стороны треугольника не могут быть параллельны. А раз стороны не могут быть параллельны, они не могут быть перпендикулярны одной и той же плоскости.
Ответ: нет, не могут.

2) параллелограмма
В параллелограмме по определению есть пара параллельных противоположных сторон. Пусть это стороны $a$ и $b$. Раз они параллельны, то они могут быть одновременно перпендикулярны некоторой плоскости $\alpha$. Если прямая, содержащая сторону $a$, перпендикулярна плоскости $\alpha$, то и параллельная ей прямая, содержащая сторону $b$, также будет перпендикулярна этой плоскости. Таким образом, две противоположные стороны параллелограмма могут быть перпендикулярны одной плоскости.
Ответ: да, могут.

3) правильного шестиугольника
Правильный шестиугольник имеет три пары параллельных противоположных сторон. Например, в шестиугольнике $ABCDEF$ сторона $AB$ параллельна стороне $ED$. Поскольку эти стороны параллельны ($AB \parallel ED$), они могут быть одновременно перпендикулярны одной и той же плоскости по той же причине, что и в случае с параллелограммом. Следовательно, две противоположные стороны правильного шестиугольника могут быть перпендикулярны одной плоскости.
Ответ: да, могут.