Номер 38, страница 189 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 38, страница 189.

Условие.

20.38. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На отрезке $AC$ отметили точку $M$ так, что $AM : MC = 1 : 2$. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку $M$ и перпендикулярной прямой $AC$.

Решение 1.

Решение 3.

Обозначим искомую плоскость сечения как $\alpha$.

По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ на диагонали $AC$ основания куба и перпендикулярна этой диагонали.

1. Анализ расположения плоскости сечения.

Диагональ $AC$ принадлежит плоскости основания $ABC$. Так как плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $AC$, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью основания $ABC$ будет представлять собой прямую, проходящую через точку $M$ и перпендикулярную $AC$.

В основании куба лежит квадрат $ABCD$. В квадрате диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны. Следовательно, любая прямая в плоскости $ABC$, перпендикулярная $AC$, будет параллельна диагонали $BD$.

Таким образом, сечение плоскостью $\alpha$ грани $ABCD$ — это отрезок, проходящий через точку $M$ и параллельный диагонали $BD$.

2. Построение следа сечения на основании $ABCD$.

Пусть ребро куба равно $a$. Длина диагонали основания $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
Точка $M$ делит отрезок $AC$ в отношении $AM:MC=1:2$. Это означает, что $AM = \frac{1}{3}AC$.
Проведем в плоскости основания $ABCD$ через точку $M$ прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть эта прямая пересекает ребра $AB$ и $AD$ в точках $P_1$ и $P_2$ соответственно.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $P_1P_2$ параллелен стороне $BD$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Треугольник $AP_1P_2$ подобен треугольнику $ABD$. Коэффициент подобия $k$ можно найти из отношения высот, проведенных из вершины $A$. В данном случае высотами являются отрезки $AM$ и $AO$.

$AM = \frac{1}{3}AC$.
$AO = \frac{1}{2}AC$ (свойство диагоналей квадрата).
Коэффициент подобия $k = \frac{AM}{AO} = \frac{\frac{1}{3}AC}{\frac{1}{2}AC} = \frac{2}{3}$.

Следовательно, $\frac{AP_1}{AB} = \frac{AP_2}{AD} = \frac{2}{3}$.

Таким образом, мы нашли две точки сечения:

• $P_1$ на ребре $AB$ такая, что $AP_1 = \frac{2}{3}AB$.
• $P_2$ на ребре $AD$ такая, что $AP_2 = \frac{2}{3}AD$.

Отрезок $P_1P_2$ — это след (линия пересечения) секущей плоскости $\alpha$ на грани $ABCD$.

3. Построение полного сечения.

Так как секущая плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $AC$, лежащей в плоскости основания $ABCD$, то плоскость $\alpha$ перпендикулярна самой плоскости основания $ABCD$. Это означает, что плоскость $\alpha$ параллельна боковым ребрам куба $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$.

Чтобы построить сечение, нужно провести через точки $P_1$ и $P_2$ прямые, параллельные ребру $AA_1$.

• Проведем через точку $P_1$ прямую, параллельную $AA_1$. Эта прямая лежит в плоскости грани $ABB_1A_1$ и пересечет ребро $A_1B_1$ в точке $P_3$. Так как $P_1P_3$ параллельна $A_1A$, то $A_1P_3 = AP_1 = \frac{2}{3}A_1B_1$.
• Проведем через точку $P_2$ прямую, параллельную $AA_1$. Эта прямая лежит в плоскости грани $ADD_1A_1$ и пересечет ребро $A_1D_1$ в точке $P_4$. Так как $P_2P_4$ параллельна $A_1A$, то $A_1P_4 = AP_2 = \frac{2}{3}A_1D_1$.

Соединив последовательно точки $P_1, P_2, P_4, P_3$, получим искомое сечение.

4. Определение вида сечения.

Четырехугольник $P_1P_2P_4P_3$ является искомым сечением.

• $P_1P_2$ параллельна $BD$, а $P_3P_4$ параллельна $B_1D_1$. Так как $BD$ параллельна $B_1D_1$, то $P_1P_2$ параллельна $P_3P_4$.
• По построению $P_1P_3$ и $P_2P_4$ параллельны $AA_1$, следовательно, они параллельны друг другу и равны по длине.
• Таким образом, $P_1P_2P_4P_3$ — параллелограмм.
• Так как $P_1P_3$ параллельна $AA_1$, а $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, то $P_1P_3$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $P_1P_2$.

Следовательно, угол $\angle P_3P_1P_2 = 90^{\circ}$, и параллелограмм $P_1P_2P_4P_3$ является прямоугольником.

Алгоритм построения:

1. На ребре $AB$ отметить точку $P_1$ так, что $AP_1:P_1B = 2:1$.
2. На ребре $AD$ отметить точку $P_2$ так, что $AP_2:P_2D = 2:1$.
3. На ребре $A_1B_1$ отметить точку $P_3$ так, что $A_1P_3:P_3B_1 = 2:1$.
4. На ребре $A_1D_1$ отметить точку $P_4$ так, что $A_1P_4:P_4D_1 = 2:1$.
5. Соединить последовательно точки $P_1, P_2, P_4, P_3$. Полученный прямоугольник $P_1P_2P_4P_3$ и есть искомое сечение.

Ответ: Искомое сечение — это прямоугольник $P_1P_2P_4P_3$, вершины которого $P_1, P_2, P_3, P_4$ лежат на ребрах $AB, AD, A_1B_1, A_1D_1$ соответственно и делят эти ребра в отношении $2:1$, считая от вершин $A$ и $A_1$.