Номер 43, страница 190 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 43, страница 190.

Условие.

20.43. Угол между диагональю прямоугольника $ABCD$ и одной из его сторон равен $30^{\circ}$. Точка $M$ удалена от каждой вершины прямоугольника на $5\sqrt{3}$ см, а от его плоскости – на $5\sqrt{2}$ см. Найдите площадь прямоугольника.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть данный прямоугольник – $ABCD$, а точка $O$ – точка пересечения его диагоналей.

Поскольку точка $M$ равноудалена от всех вершин прямоугольника ($MA = MB = MC = MD = 5\sqrt{3}$ см), ее проекцией на плоскость прямоугольника является центр описанной около него окружности, то есть точка $O$. Расстояние от точки $M$ до плоскости прямоугольника – это длина перпендикуляра $MO$. По условию $MO = 5\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOA$ (где $\angle MOA = 90^\circ$). Гипотенуза $MA = 5\sqrt{3}$ см, катет $MO = 5\sqrt{2}$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $OA$, который является половиной диагонали прямоугольника:$OA^2 = MA^2 - MO^2$$OA^2 = (5\sqrt{3})^2 - (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 3 - 25 \cdot 2 = 75 - 50 = 25$ см²$OA = \sqrt{25} = 5$ см.

Длина всей диагонали $AC$ (обозначим ее $d$) равна удвоенной длине отрезка $OA$:$d = AC = 2 \cdot OA = 2 \cdot 5 = 10$ см.

По условию, угол между диагональю и одной из сторон равен $30^\circ$. Пусть это будет угол между диагональю $AC$ и стороной $AD$, то есть $\angle CAD = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$ ($\angle D = 90^\circ$). В нем известна гипотенуза $AC = 10$ см и острый угол $\angle CAD = 30^\circ$. Найдем катеты, которые являются сторонами прямоугольника $AD$ и $CD$, используя тригонометрические функции:$CD = AC \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.$AD = AC \cdot \cos(30^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его смежных сторон:$S = AD \cdot CD = 5\sqrt{3} \cdot 5 = 25\sqrt{3}$ см².

Ответ: $25\sqrt{3}$ см².