Номер 46, страница 190 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 46, страница 190.

Условие.

20.46. Отрезок $MC$ – перпендикуляр к плоскости треугольника $ABC$, $\angle ACB = 90^\circ$, $AC = BC = 6 \text{ см}$. Расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ равно $3\sqrt{6} \text{ см}$. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$.

Решение 1.

Решение 3.

По условию задачи, отрезок $MC$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$. Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Следовательно, искомое расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$ равно длине отрезка $MC$.

Расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ – это длина перпендикуляра, проведенного из точки $M$ к прямой $AB$. Обозначим основание этого перпендикуляра как точку $H$ на прямой $AB$. Таким образом, $MH \perp AB$ и по условию $MH = 3\sqrt{6}$ см.

Рассмотрим отрезки $MC$, $MH$ и $CH$. $MC$ – перпендикуляр к плоскости $ABC$. $MH$ – наклонная, проведенная из точки $M$ к прямой $AB$ в этой плоскости. $CH$ – проекция наклонной $MH$ на плоскость $ABC$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($MH$) перпендикулярна прямой на плоскости ($AB$), то и ее проекция ($CH$) перпендикулярна этой же прямой. Следовательно, $CH \perp AB$. Это означает, что $CH$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $AB$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Он прямоугольный ($\angle ACB = 90^\circ$) и равнобедренный ($AC = BC = 6$ см). Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$

$AB = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем длину высоты $CH$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, также является медианой и равна половине гипотенузы:

$CH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим треугольник $MCH$. Так как $MC$ перпендикулярен плоскости $ABC$, а отрезок $CH$ лежит в этой плоскости, то $MC \perp CH$. Следовательно, треугольник $MCH$ является прямоугольным с прямым углом $C$. В этом треугольнике $MH$ – гипотенуза, а $MC$ и $CH$ – катеты.

Применим теорему Пифагора для треугольника $MCH$:

$MH^2 = MC^2 + CH^2$

Выразим искомый катет $MC$:

$MC^2 = MH^2 - CH^2$

Подставим известные значения $MH = 3\sqrt{6}$ см и $CH = 3\sqrt{2}$ см:

$MC^2 = (3\sqrt{6})^2 - (3\sqrt{2})^2 = (9 \cdot 6) - (9 \cdot 2) = 54 - 18 = 36$

$MC = \sqrt{36} = 6$ см.

Таким образом, расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$ равно 6 см.

Ответ: 6 см.