Номер 51, страница 190 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 51, страница 190.

Условие.

20.51. Точка $M$, равноудаленная от вершин правильного треугольника $ABC$, находится на расстоянии 5 см от его плоскости. Найдите площадь треугольника $ABC$, если угол между прямой $MA$ и плоскостью $ABC$ равен $60^\circ$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $O$ — это проекция точки $M$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда отрезок $MO$ является перпендикуляром к плоскости $ABC$, и его длина равна расстоянию от точки $M$ до этой плоскости, то есть $MO = 5$ см.

Поскольку точка $M$ равноудалена от вершин треугольника $ABC$ ($MA = MB = MC$), её проекция $O$ на плоскость $ABC$ будет равноудалена от этих же вершин ($OA = OB = OC$). Таким образом, точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$. Так как треугольник $ABC$ правильный, точка $O$ также является его центром.

Угол между прямой $MA$ и плоскостью $ABC$ — это угол между самой прямой и её проекцией на плоскость. Проекцией наклонной $MA$ на плоскость $ABC$ является отрезок $OA$. Следовательно, угол между $MA$ и плоскостью $ABC$ — это угол $\angle MAO$, и по условию он равен $60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MAO$ (угол $\angle MOA = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны катет $MO=5$ см и противолежащий ему угол $\angle MAO = 60^\circ$. Мы можем найти длину катета $OA$, который является радиусом $R$ описанной окружности треугольника $ABC$, используя тангенс угла $\angle MAO$:

$\tan(\angle MAO) = \frac{MO}{OA}$

$\tan(60^\circ) = \frac{5}{OA}$

Так как $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:

$\sqrt{3} = \frac{5}{OA}$

Отсюда $OA = R = \frac{5}{\sqrt{3}}$ см.

Сторона правильного треугольника $a$ связана с радиусом описанной около него окружности $R$ соотношением $a = R\sqrt{3}$. Подставим найденное значение $R$:

$a = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 5$ см.

Теперь найдем площадь $S$ правильного треугольника $ABC$ со стороной $a=5$ см по формуле:

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{5^2\sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{25\sqrt{3}}{4}$ см$^2$.