Номер 55, страница 191 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 55, страница 191.

Условие.

20.55. Сторона $BC$ правильного треугольника $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$, высота $AH$ этого треугольника образует с плоскостью $\alpha$ угол $\phi$. Найдите угол между прямой $AB$ и плоскостью $\alpha$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть сторона правильного треугольника $ABC$ равна $a$. Тогда $AB = BC = AC = a$. Высота $AH$, проведенная к стороне $BC$, в правильном треугольнике также является медианой, поэтому точка $H$ — это середина стороны $BC$. Длина высоты $AH$ в правильном треугольнике со стороной $a$ равна $AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

По условию, сторона $BC$ лежит в плоскости $\alpha$. Так как $H$ — середина $BC$, то точка $H$ также лежит в плоскости $\alpha$.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Опустим перпендикуляр $AA'$ из точки $A$ на плоскость $\alpha$. Тогда отрезок $A'H$ является проекцией высоты $AH$ на плоскость $\alpha$. Угол между высотой $AH$ и плоскостью $\alpha$ по условию равен $\phi$, следовательно, $\angle AHA' = \phi$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AA'H$ (угол $\angle AA'H = 90^\circ$, так как $AA'$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$). Из определения синуса угла в прямоугольном треугольнике имеем:$AA' = AH \cdot \sin(\angle AHA') = AH \cdot \sin \phi$.

Подставим найденное ранее выражение для длины высоты $AH$:$AA' = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \sin \phi$.

Теперь найдем искомый угол между прямой $AB$ и плоскостью $\alpha$. Обозначим этот угол через $\psi$. Этот угол равен углу между прямой $AB$ и ее проекцией $A'B$ на плоскость $\alpha$. Таким образом, $\psi = \angle ABA'$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AA'B$. Угол $\angle AA'B = 90^\circ$, поскольку $AA'$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а прямая $A'B$ лежит в этой плоскости. В этом треугольнике синус угла $\psi$ равен отношению противолежащего катета $AA'$ к гипотенузе $AB$:$\sin \psi = \frac{AA'}{AB}$.

Подставим в эту формулу выражения для $AA'$ и $AB$:$\sin \psi = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2} \sin \phi}{a}$.

Сократив $a$ в числителе и знаменателе, получим:$\sin \psi = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \phi$.

Отсюда искомый угол $\psi$ равен:$\psi = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \phi\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \phi\right)$.