Номер 62, страница 191 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Упражнения для повторения курса геометрии 10 класса. Упражнения для повторения курса геометрии - номер 62, страница 191.

Условие.

20.62. Угол между квадратом $ABCD$ и прямоугольником $AEFD$ равен $60^\circ$. Площадь квадрата равна $16 \text{ см}^2$, а площадь прямоугольника – $32 \text{ см}^2$. Найдите расстояние между прямыми, содержащими параллельные стороны данных квадрата и прямоугольника.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан квадрат $ABCD$ и прямоугольник $AEFD$, которые имеют общую сторону $AD$. Угол между их плоскостями составляет $60^\circ$.

1. Найдем длины сторон фигур.

Площадь квадрата $ABCD$ равна $S_{ABCD} = 16 \text{ см}^2$. Так как все стороны квадрата равны, то длина стороны равна: $AD = \sqrt{S_{ABCD}} = \sqrt{16} = 4 \text{ см}.$ Следовательно, $AB = BC = CD = AD = 4 \text{ см}$.

Площадь прямоугольника $AEFD$ равна $S_{AEFD} = 32 \text{ см}^2$. Одна из его сторон — это общая сторона с квадратом $AD = 4 \text{ см}$. Найдем длину другой стороны, $AE$: $S_{AEFD} = AD \cdot AE$ $32 = 4 \cdot AE$ $AE = \frac{32}{4} = 8 \text{ см}.$

2. Определим искомое расстояние.

В условии требуется найти расстояние между прямыми, содержащими параллельные стороны данных квадрата и прямоугольника. В квадрате $ABCD$ сторона $BC$ параллельна общей стороне $AD$ ($BC \parallel AD$). В прямоугольнике $AEFD$ сторона $EF$ параллельна общей стороне $AD$ ($EF \parallel AD$). Из этого следует, что прямые, содержащие стороны $BC$ и $EF$, параллельны друг другу ($BC \parallel EF$). Таким образом, нам нужно найти расстояние между этими двумя параллельными прямыми.

3. Вычислим расстояние.

Расстояние между двумя параллельными прямыми можно найти как расстояние между их точками в плоскости, перпендикулярной этим прямым.

Проведем плоскость $\pi$ через точку $A$ перпендикулярно к линии пересечения $AD$. В квадрате $ABCD$ сторона $AB$ перпендикулярна $AD$ ($AB \perp AD$). В прямоугольнике $AEFD$ сторона $AE$ перпендикулярна $AD$ ($AE \perp AD$). Следовательно, отрезки $AB$ и $AE$ лежат в плоскости $\pi$.

Угол между плоскостями квадрата и прямоугольника — это двугранный угол при ребре $AD$. Его величина равна углу между перпендикулярами к ребру, проведенными в этих плоскостях. Таким образом, угол между отрезками $AB$ и $AE$ равен $60^\circ$, то есть $\angle BAE = 60^\circ$.

Прямые $BC$ и $EF$ перпендикулярны плоскости $\pi$, так как они параллельны $AD$, а $AD \perp \pi$. Расстояние между этими прямыми равно расстоянию между точками их пересечения с плоскостью $\pi$, то есть расстоянию между точками $B$ и $E$.

Рассмотрим треугольник $ABE$, который лежит в плоскости $\pi$. Мы знаем длины двух его сторон ($AB=4$ см, $AE=8$ см) и угол между ними ($\angle BAE = 60^\circ$). Чтобы найти длину третьей стороны $BE$, воспользуемся теоремой косинусов: $BE^2 = AB^2 + AE^2 - 2 \cdot AB \cdot AE \cdot \cos(\angle BAE)$ $BE^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)$ $BE^2 = 16 + 64 - 64 \cdot \frac{1}{2}$ $BE^2 = 80 - 32$ $BE^2 = 48$ $BE = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \text{ см}.$

Таким образом, расстояние между прямыми, содержащими стороны $BC$ и $EF$, равно $4\sqrt{3}$ см.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.